安徽师范大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
1、 $\gamma_{0}, \beta_{1}=\gamma_{0}-\eta_{1}, \beta_{2}=\gamma_{0}-\eta_{2}, \cdots, \beta_{t}=\gamma_{0}-\eta_{t}$ 是线性方程组 $A X=\beta$ 的一组线性无关的解．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：验证每个β_i是AX=β的解
对于每个$i=1,\dots,t$，计算$A\beta_i = A(\gamma_0 - \eta_i) = A\gamma_0 - A\eta_i$。由于$\gamma_0$是$AX=\beta$的特解，故$A\gamma_0 = \beta$；$\eta_i$是齐次方程$AX=0$的解，故$A\eta_i = 0$。因此$A\beta_i = \beta - 0 = \beta$，即$\beta_i$是$AX=\beta$的解。
公式：A\beta_i = A(\gamma_0 - \eta_i) = A\gamma_0 - A\eta_i = \beta - 0 = \beta
提示：注意区分特解和齐次解，确保$A\gamma_0 = \beta$和$A\eta_i = 0$成立。
步骤 2/7
目标：假设线性组合为零，推导系数关系
设存在数$k_1,\dots,k_t$使得$\sum_{i=1}^t k_i \beta_i = 0$。代入$\beta_i = \gamma_0 - \eta_i$，得$\sum_{i=1}^t k_i (\gamma_0 - \eta_i) = \left(\sum_{i=1}^t k_i\right) \gamma_0 - \sum_{i=1}^t k_i \eta_i = 0$。移项得$\left(\sum_{i=1}^t k_i\right) \gamma_0 = \sum_{i=1}^t k_i \eta_i$。
公式：\sum_{i=1}^t k_i (\gamma_0 - \eta_i) = \left(\sum_{i=1}^t k_i\right) \gamma_0 - \sum_{i=1}^t k_i \eta_i = 0
提示：注意线性组合的展开，不要遗漏负号。
步骤 3/7
目标：左乘矩阵A，利用已知条件化简
对等式$\left(\sum_{i=1}^t k_i\right) \gamma_0 = \sum_{i=1}^t k_i \eta_i$两边左乘矩阵$A$，得$\left(\sum_{i=1}^t k_i\right) A\gamma_0 = \sum_{i=1}^t k_i A\eta_i$。由于$A\gamma_0 = \beta$，$A\eta_i = 0$，故$\left(\sum_{i=1}^t k_i\right) \beta = 0$。
公式：\left(\sum_{i=1}^t k_i\right) \beta = 0
提示：左乘A时，注意矩阵乘法分配律，且$A\eta_i=0$。
步骤 4/7
目标：利用β非零推出系数和为零
由于$\beta$是非零向量（题目隐含非齐次线性方程组，若$\beta=0$则方程组为齐次，但此处$\beta$为非齐次项，通常非零），由$\left(\sum_{i=1}^t k_i\right) \beta = 0$可得$\sum_{i=1}^t k_i = 0$。
公式：\sum_{i=1}^t k_i = 0
提示：注意$\beta$可能为零的情况，但题目中$\beta$是非齐次项，通常非零；若$\beta=0$，则结论不一定成立，但题目隐含非齐次。
步骤 5/7
目标：代入系数和为零，得到齐次解线性组合为零
将$\sum_{i=1}^t k_i = 0$代入$\left(\sum_{i=1}^t k_i\right) \gamma_0 = \sum_{i=1}^t k_i \eta_i$，得$0 \cdot \gamma_0 = \sum_{i=1}^t k_i \eta_i$，即$\sum_{i=1}^t k_i \eta_i = 0$。
公式：\sum_{i=1}^t k_i \eta_i = 0
提示：代入时注意左边为零，不要遗漏。
步骤 6/7
目标：利用η_i线性无关推出所有系数为零
由于$\eta_1,\dots,\eta_t$是齐次方程组$AX=0$的一组线性无关的解，由$\sum_{i=1}^t k_i \eta_i = 0$可得$k_1 = \dots = k_t = 0$。
公式：k_1 = \dots = k_t = 0
提示：线性无关的定义：若线性组合为零则系数全为零。
步骤 7/7
目标：得出结论：β_i线性无关
由以上推导，若$\sum_{i=1}^t k_i \beta_i = 0$，则必有$k_1 = \dots = k_t = 0$，因此$\beta_1,\dots,\beta_t$线性无关。
提示：总结线性无关的证明过程，注意逻辑链条。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。