安徽师范大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
1、存在 $k$ 级幂零矩阵 $P$（即存在正整数 $s$ 使得 $P^{s}=0$ ）及对角矩阵 $U$ ，使得 $J=P+U$ ；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解若尔当块的结构
设 $J$ 是一个 $k$ 级若尔当块，形如
$$J = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda \end{pmatrix}_{k \times k}$$
其中 $\lambda$ 是特征值。
提示：注意若尔当块的定义：对角线上是特征值，次对角线上是1，其余为0。
步骤 2/6
目标：定义对角矩阵 $U$
定义 $U = \lambda I_k$，即 $U$ 是对角线上全为 $\lambda$ 的 $k \times k$ 对角矩阵。
公式：U = \lambda I_k
提示：对角矩阵 $U$ 必须与 $J$ 同阶，且对角线元素等于 $J$ 的特征值。
步骤 3/6
目标：定义幂零矩阵 $P$
定义 $P = J - U$，则
$$P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
这是一个严格上三角矩阵。
公式：P = J - U
提示：计算 $P$ 时注意 $J$ 的对角线减去 $U$ 的对角线后变为0。
步骤 4/6
目标：验证 $P$ 是幂零矩阵
由于 $P$ 是严格上三角矩阵，其 $k$ 次幂为零，即 $P^k = 0$。因此 $P$ 是幂零矩阵，幂零指数不超过 $k$。
公式：P^k = 0
提示：严格上三角矩阵的幂零性：每次乘法会使非零元素向右上方移动，$k$ 次后全零。
步骤 5/6
目标：验证分解 $J = P + U$
由 $P = J - U$ 可得 $J = P + U$，其中 $P$ 是幂零矩阵，$U$ 是对角矩阵。
公式：J = P + U
提示：注意加法是矩阵对应元素相加，验证时检查每个位置。
步骤 6/6
目标：推广到一般若尔当标准形
对于一般的若尔当标准形，它由若干个若尔当块组成。每个若尔当块都可以如上分解为幂零部分和对角部分的和，然后将所有块的幂零部分组合成一个分块对角幂零矩阵，所有对角部分组合成一个分块对角矩阵（即对角矩阵）。因此，整个若尔当标准形可以分解为幂零矩阵与对角矩阵的和。
提示：注意分块对角矩阵的幂零性：每个块是幂零的，整体也是幂零的。
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