安徽师范大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
1、 $B$ 是正定矩阵；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解正定矩阵的定义
正定矩阵是指对于任意非零实列向量 $x$，有 $x^T B x > 0$。通常假设 $B$ 是实对称矩阵（或 Hermite 矩阵）。
公式：$x^T B x > 0$ 对所有非零 $x \in \mathbb{R}^n$ 成立
提示：注意正定矩阵通常要求对称，但有些教材不要求对称，此时需注意定义的一致性。
步骤 2/6
目标：回顾正定矩阵的性质
正定矩阵具有以下重要性质：所有特征值大于0；存在唯一的正定平方根；可逆且逆矩阵也是正定；顺序主子式全大于0。
公式：若 $B$ 正定，则 $\lambda_i > 0$，且 $\det(B) > 0$
提示：顺序主子式全大于0是充要条件，常用于判断。
步骤 3/6
目标：明确题目要求
由于题目只给出“$B$ 是正定矩阵”，没有具体问题，因此无法进行后续推导。请补充完整问题，例如：证明 $B$ 的特征值全为正，或证明 $B$ 可逆，或计算某个表达式等。
提示：常见问题包括：证明正定矩阵的逆也是正定；证明正定矩阵与单位矩阵合同；证明正定矩阵的平方根存在等。
步骤 4/6
目标：示例：证明正定矩阵的特征值全为正
假设 $B$ 是实对称正定矩阵，则存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T B Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$。对任意非零向量 $x$，令 $y = Q^T x$，则 $x^T B x = y^T \Lambda y = \sum \lambda_i y_i^2 > 0$。取 $y$ 为单位向量 $e_i$，得 $\lambda_i > 0$。
公式：$B = Q \Lambda Q^T$，$\lambda_i > 0$
提示：注意对称性保证正交对角化，正定性保证特征值正。
步骤 5/6
目标：示例：证明正定矩阵可逆
由特征值全大于0可知 $\det(B) = \prod \lambda_i > 0$，故 $B$ 可逆。或者直接由 $x^T B x > 0$ 对非零 $x$ 成立，推出 $Bx=0$ 只有零解，从而可逆。
公式：$\det(B) \neq 0$
提示：注意正定矩阵一定是非奇异的。
步骤 6/6
目标：总结
正定矩阵是高等代数中的重要概念，具有许多良好性质。解题时需根据具体问题灵活运用定义和性质。
提示：常见错误：忽略对称性；误认为正定矩阵的所有元素为正（实际上不一定）。
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