安徽师范大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
1、写出 $f$ 在基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 下的矩阵；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确问题条件
题目要求写出线性变换 $f$ 在基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 下的矩阵，但未给出 $f$ 的具体定义。因此，需要先明确 $f$ 的表达式或作用规则。
提示：注意：没有 $f$ 的定义，无法进行后续计算。
步骤 2/6
目标：假设已知 $f$ 的表达式
假设 $f$ 是定义在四维向量空间上的线性变换，且已知 $f(\varepsilon_{1}), f(\varepsilon_{2}), f(\varepsilon_{3}), f(\varepsilon_{4})$ 在基下的坐标。例如，设 $f(\varepsilon_{j}) = \sum_{i=1}^{4} a_{ij} \varepsilon_{i}$，则矩阵 $A = (a_{ij})$ 即为所求。
公式：$f(\varepsilon_{j}) = \sum_{i=1}^{4} a_{ij} \varepsilon_{i}$
提示：矩阵的第 $j$ 列是 $f(\varepsilon_{j})$ 的坐标。
步骤 3/6
目标：写出矩阵的一般形式
根据线性变换的矩阵定义，若 $f(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}) = (\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}) A$，则 $A$ 的第 $j$ 列为 $f(\varepsilon_{j})$ 的坐标。因此，矩阵 $A$ 为 $4 \times 4$ 矩阵。
公式：$f(\varepsilon_{1}, \dots, \varepsilon_{4}) = (\varepsilon_{1}, \dots, \varepsilon_{4}) A$
提示：注意矩阵乘法顺序：基向量行向量右乘矩阵。
步骤 4/6
目标：举例说明（假设 $f$ 为恒等变换）
若 $f$ 是恒等变换，即 $f(\varepsilon_{j}) = \varepsilon_{j}$，则 $f(\varepsilon_{j})$ 的坐标为第 $j$ 个标准单位向量，因此矩阵 $A$ 为单位矩阵 $I_{4}$。
公式：$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
提示：恒等变换在任何基下的矩阵都是单位矩阵。
步骤 5/6
目标：举例说明（假设 $f$ 为坐标变换）
若 $f$ 将基向量映射为其他向量，例如 $f(\varepsilon_{1}) = \varepsilon_{1} + \varepsilon_{2}$，$f(\varepsilon_{2}) = \varepsilon_{2} + \varepsilon_{3}$，$f(\varepsilon_{3}) = \varepsilon_{3} + \varepsilon_{4}$，$f(\varepsilon_{4}) = \varepsilon_{4}$，则矩阵 $A$ 为：
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$
提示：注意：$f(\varepsilon_{j})$ 的坐标按列排列。
步骤 6/6
目标：总结
要写出 $f$ 在基下的矩阵，必须知道 $f$ 对每个基向量的作用结果。若题目未给出 $f$，则无法具体写出矩阵。请补充 $f$ 的定义。
提示：线性变换的矩阵依赖于基的选择。
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