安徽师范大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
2、线性方程组 $A X=\beta$ 的任一解都可以表示为
$$
k_{0} \gamma_{0}+k_{1} \beta_{1}+k_{2} \beta_{2}+\cdots+k_{t} \beta_{t} \text {, 其中 } k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{t}=1-k_{0} \text {. }
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题目条件与目标
题目给出线性方程组 $A\mathbf{x}=\boldsymbol{\beta}$ 的任一解可以表示为 $k_0\boldsymbol{\gamma}_0+\sum_{i=1}^t k_i\boldsymbol{\beta}_i$，且系数满足 $\sum_{i=1}^t k_i=1-k_0$。我们需要证明这种表示与标准通解形式等价，并构造出合适的 $\boldsymbol{\beta}_i$。
提示：注意 $\boldsymbol{\gamma}_0$ 是一个特解，$\boldsymbol{\beta}_i$ 需要构造为特解加上导出组的基础解系。
步骤 2/6
目标：回顾线性方程组解的结构
设 $A\mathbf{x}=\boldsymbol{\beta}$ 有解，其导出组 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系为 $\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\dots,\boldsymbol{\eta}_t$，$\boldsymbol{\gamma}_0$ 是 $A\mathbf{x}=\boldsymbol{\beta}$ 的一个特解。则通解为 $\mathbf{x}=\boldsymbol{\gamma}_0+\sum_{i=1}^t c_i\boldsymbol{\eta}_i$，其中 $c_i$ 为任意常数。
公式：$\mathbf{x}=\boldsymbol{\gamma}_0+\sum_{i=1}^t c_i\boldsymbol{\eta}_i$
提示：基础解系中的向量线性无关，且个数为 $n-\text{rank}(A)$。
步骤 3/6
目标：构造 $\boldsymbol{\beta}_i$
取 $\boldsymbol{\beta}_i = \boldsymbol{\gamma}_0 + \boldsymbol{\eta}_i$，$i=1,\dots,t$。验证 $\boldsymbol{\beta}_i$ 是 $A\mathbf{x}=\boldsymbol{\beta}$ 的解：$A\boldsymbol{\beta}_i = A\boldsymbol{\gamma}_0 + A\boldsymbol{\eta}_i = \boldsymbol{\beta} + \mathbf{0} = \boldsymbol{\beta}$。
公式：$\boldsymbol{\beta}_i = \boldsymbol{\gamma}_0 + \boldsymbol{\eta}_i$
提示：注意 $\boldsymbol{\eta}_i$ 是齐次方程的解，所以 $A\boldsymbol{\eta}_i=\mathbf{0}$。
步骤 4/6
目标：将给定表达式转化为通解形式
考虑表达式 $\mathbf{x}=k_0\boldsymbol{\gamma}_0+\sum_{i=1}^t k_i\boldsymbol{\beta}_i$，其中 $\sum_{i=1}^t k_i=1-k_0$。代入 $\boldsymbol{\beta}_i$ 得：
$$\mathbf{x}=k_0\boldsymbol{\gamma}_0+\sum_{i=1}^t k_i(\boldsymbol{\gamma}_0+\boldsymbol{\eta}_i)=\left(k_0+\sum_{i=1}^t k_i\right)\boldsymbol{\gamma}_0+\sum_{i=1}^t k_i\boldsymbol{\eta}_i=\boldsymbol{\gamma}_0+\sum_{i=1}^t k_i\boldsymbol{\eta}_i.$$
公式：$\mathbf{x}=\boldsymbol{\gamma}_0+\sum_{i=1}^t k_i\boldsymbol{\eta}_i$
提示：利用系数条件 $k_0+\sum k_i = 1$ 化简。
步骤 5/6
目标：证明给定表达式能表示所有解
由第4步，给定表达式化为 $\boldsymbol{\gamma}_0+\sum_{i=1}^t k_i\boldsymbol{\eta}_i$，这正是通解形式，其中 $k_i$ 为任意常数（因为 $k_i$ 自由，且 $k_0=1-\sum k_i$ 随之确定）。因此，任意一组 $k_i$ 对应一个解，且任意解 $\mathbf{x}=\boldsymbol{\gamma}_0+\sum c_i\boldsymbol{\eta}_i$ 可通过取 $k_i=c_i$，$k_0=1-\sum c_i$ 得到。
提示：注意 $k_i$ 的任意性：由于 $k_0$ 由 $k_i$ 决定，$k_i$ 可任意取值，故覆盖所有解。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，线性方程组 $A\mathbf{x}=\boldsymbol{\beta}$ 的任一解都可以表示为 $k_0\boldsymbol{\gamma}_0+\sum_{i=1}^t k_i\boldsymbol{\beta}_i$，其中 $\boldsymbol{\gamma}_0$ 是一个特解，$\boldsymbol{\beta}_i=\boldsymbol{\gamma}_0+\boldsymbol{\eta}_i$（$\boldsymbol{\eta}_i$ 是导出组的基础解系），且系数满足 $\sum_{i=1}^t k_i=1-k_0$。
提示：该表示与标准通解等价，只是将基础解系平移到了特解上。
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