安徽师范大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
2、求出 $f$ 的值域 $f(V)$ 的维数及一组基；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题与设定符号
设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$f: V \to V$ 是线性变换。取 $V$ 的一组基 $\{e_1, e_2, \dots, e_n\}$，则 $f$ 在该基下的矩阵为 $A$，即 $f(e_1, e_2, \dots, e_n) = (e_1, e_2, \dots, e_n) A$。值域 $f(V) = \{ f(v) \mid v \in V \}$ 是 $V$ 的子空间。
提示：注意线性变换与矩阵的对应关系，基的选择会影响矩阵，但值域的维数不依赖于基的选择。
步骤 2/6
目标：将值域表示为像的生成空间
由于 $V$ 中任意向量 $v$ 可表示为 $v = \sum_{i=1}^n x_i e_i$，由线性性得 $f(v) = \sum_{i=1}^n x_i f(e_i)$。因此 $f(V) = \operatorname{span}\{f(e_1), f(e_2), \dots, f(e_n)\}$。
公式：$f(V) = \operatorname{span}\{f(e_1), f(e_2), \dots, f(e_n)\}$
提示：注意生成元是基向量的像，而不是基向量本身。
步骤 3/6
目标：将像的坐标表示为矩阵的列
每个 $f(e_j)$ 在基 $\{e_1, \dots, e_n\}$ 下的坐标向量就是矩阵 $A$ 的第 $j$ 列。因此 $f(e_j)$ 的坐标列向量为 $\mathbf{a}_j = (a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{nj})^T$。于是 $f(V)$ 与矩阵 $A$ 的列空间 $\operatorname{Col}(A)$ 同构。
公式：$f(e_j) \leftrightarrow \mathbf{a}_j$
提示：同构意味着维数相等，且基的对应关系保持线性无关性。
步骤 4/6
目标：计算值域的维数
值域 $f(V)$ 的维数等于矩阵 $A$ 的秩，即 $\dim f(V) = \operatorname{rank}(A)$。秩可通过行阶梯形或列向量组的极大线性无关组求得。
公式：$\dim f(V) = \operatorname{rank}(A)$
提示：秩的计算要小心，特别是当矩阵不是方阵时，但这里 $A$ 是 $n \times n$ 方阵。
步骤 5/6
目标：求值域的一组基
取矩阵 $A$ 的列向量组的极大线性无关组，设第 $i_1, i_2, \dots, i_r$ 列线性无关，则对应的 $f(e_{i_1}), f(e_{i_2}), \dots, f(e_{i_r})$ 构成 $f(V)$ 的一组基。
公式：$\{f(e_{i_1}), f(e_{i_2}), \dots, f(e_{i_r})\}$ 是基
提示：极大线性无关组不唯一，但基的个数固定为秩。注意选取的列要确保线性无关。
步骤 6/6
目标：示例说明（假设具体矩阵）
例如，设 $n=3$，$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。则 $\operatorname{rank}(A)=2$，第1、2列线性无关，故 $\dim f(V)=2$，一组基为 $f(e_1), f(e_2)$。
提示：实际题目中需给出具体 $f$ 或 $A$，否则只能给出一般方法。
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