安徽师范大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
2、 $\left|A^{*}\right|=|A|^{n-1}$ 且 $\left(A^{*}\right)^{*}=|A|^{n-2} A$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用伴随矩阵定义得到基本等式
由伴随矩阵的定义，有 $A A^* = A^* A = |A| I_n$。
公式：$A A^* = |A| I_n$
提示：注意伴随矩阵的定义：$A^*$ 的每个元素是 $A$ 的代数余子式，且满足 $AA^* = A^*A = |A|I$。
步骤 2/7
目标：证明 $|A^*| = |A|^{n-1}$ 当 $|A| \neq 0$
对 $A A^* = |A| I_n$ 两边取行列式，得 $|A A^*| = ||A| I_n|$，即 $|A| \cdot |A^*| = |A|^n$。因为 $|A| \neq 0$，两边除以 $|A|$ 得 $|A^*| = |A|^{n-1}$。
公式：$|A| \cdot |A^*| = |A|^n$
提示：注意行列式的性质：$|kA| = k^n |A|$，这里 $k = |A|$，所以 $||A|I_n| = |A|^n$。
步骤 3/7
目标：证明 $|A^*| = |A|^{n-1}$ 当 $|A| = 0$
若 $|A| = 0$，则 $A$ 不可逆。此时 $A^*$ 的秩 $r(A^*) \leq 1$（当 $r(A) = n-1$ 时 $r(A^*) = 1$，当 $r(A) < n-1$ 时 $r(A^*) = 0$），故 $|A^*| = 0$，而 $|A|^{n-1} = 0$，等式成立。
提示：当 $|A|=0$ 时，$A^*$ 可能非零，但其行列式必为0，因为秩小于 $n$。
步骤 4/7
目标：证明 $(A^*)^* = |A|^{n-2} A$ 当 $A$ 可逆
当 $A$ 可逆时，$A^* = |A| A^{-1}$。则 $(A^*)^* = |A^*| (A^*)^{-1}$。由第一步 $|A^*| = |A|^{n-1}$，且 $(A^*)^{-1} = (|A| A^{-1})^{-1} = \frac{1}{|A|} A$，代入得 $(A^*)^* = |A|^{n-1} \cdot \frac{1}{|A|} A = |A|^{n-2} A$。
公式：$(A^*)^* = |A^*| (A^*)^{-1}$
提示：注意 $A^*$ 可逆当且仅当 $A$ 可逆，此时 $A^*$ 的逆为 $\frac{1}{|A|}A$。
步骤 5/7
目标：证明 $(A^*)^* = |A|^{n-2} A$ 当 $A$ 不可逆且 $r(A) < n-1$
若 $r(A) < n-1$，则 $A$ 的所有 $n-1$ 阶子式为零，故 $A^* = 0$，从而 $(A^*)^* = 0$。此时 $|A| = 0$，右边 $|A|^{n-2} A = 0$，等式成立。
提示：注意 $A^*$ 的每个元素是 $A$ 的 $n-1$ 阶子式，当 $r(A) < n-1$ 时所有 $n-1$ 阶子式为0。
步骤 6/7
目标：证明 $(A^*)^* = |A|^{n-2} A$ 当 $A$ 不可逆且 $r(A) = n-1$（$n>2$）
若 $r(A) = n-1$，则 $r(A^*) = 1$。对于 $n>2$，秩为1的矩阵的伴随矩阵为零矩阵，故 $(A^*)^* = 0$。而 $|A| = 0$，右边 $|A|^{n-2} A = 0$，等式成立。
提示：秩为1的矩阵的伴随矩阵为零矩阵，因为其所有 $n-1$ 阶子式均为0（$n>2$）。
步骤 7/7
目标：证明 $(A^*)^* = |A|^{n-2} A$ 当 $n=2$ 且 $|A|=0$
当 $n=2$ 时，设 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，则 $A^* = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$，$(A^*)^* = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = A$。而 $|A|^{n-2} A = |A|^0 A = A$，等式成立。
提示：对于2阶矩阵，伴随矩阵的伴随矩阵等于原矩阵，可直接验证。
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