安徽师范大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
2、求矩阵 $A$ 及行列式 $\left|\left(A+A^{*}-2 E\right)^{1010}\right|$ ，其中 $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，$E$ 为 3 阶单位阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用伴随矩阵与逆矩阵的关系
由于 $A$ 可逆，伴随矩阵 $A^*$ 满足 $A^* = |A| A^{-1}$，其中 $|A|$ 是 $A$ 的行列式。因此，$A + A^* - 2E = A + |A| A^{-1} - 2E$。
公式：A^* = |A| A^{-1}
提示：注意 $A$ 必须可逆，否则 $A^{-1}$ 不存在。
步骤 2/6
目标：将问题转化为特征值问题
设 $A$ 的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$，则 $|A| = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3$。由于 $A$ 可逆，$\lambda_i \neq 0$。矩阵 $A + |A| A^{-1} - 2E$ 的特征值为 $\lambda_i + \frac{|A|}{\lambda_i} - 2$。
公式：若 $A$ 的特征值为 $\lambda$，则 $f(A)$ 的特征值为 $f(\lambda)$
提示：注意 $A^{-1}$ 的特征值为 $1/\lambda$，且 $|A|$ 是常数。
步骤 3/6
目标：求幂矩阵的特征值
矩阵 $(A + A^* - 2E)^{1010}$ 的特征值为 $(\lambda_i + \frac{|A|}{\lambda_i} - 2)^{1010}$。
公式：若 $B$ 的特征值为 $\mu$，则 $B^k$ 的特征值为 $\mu^k$
提示：幂运算作用于特征值，注意特征值可能为复数。
步骤 4/6
目标：计算行列式
矩阵的行列式等于其特征值的乘积。因此，$\left|\left(A+A^{*}-2E\right)^{1010}\right| = \prod_{i=1}^3 \left(\lambda_i + \frac{|A|}{\lambda_i} - 2\right)^{1010} = \left(\prod_{i=1}^3 \left(\lambda_i + \frac{|A|}{\lambda_i} - 2\right)\right)^{1010}$。
公式：|B| = \prod \mu_i
提示：注意指数1010可以提到乘积外面，因为乘积的幂等于幂的乘积。
步骤 5/6
目标：化简表达式（可选）
乘积 $\prod_{i=1}^3 \left(\lambda_i + \frac{|A|}{\lambda_i} - 2\right)$ 可以进一步化简，但依赖于 $A$ 的具体特征值。例如，若 $A$ 是对角矩阵 $\operatorname{diag}(1,2,3)$，则 $|A|=6$，计算得 $\lambda_1+6/\lambda_1-2=5$，$\lambda_2+6/\lambda_2-2=3$，$\lambda_3+6/\lambda_3-2=3$，乘积为 $45$，最终结果为 $45^{1010}$。
提示：若无具体 $A$，则结果用特征值表示。
步骤 6/6
目标：总结最终答案
因此，所求行列式为 $\left(\prod_{i=1}^3 \left(\lambda_i + \frac{|A|}{\lambda_i} - 2\right)\right)^{1010}$，其中 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值。
提示：注意 $A$ 必须可逆，且特征值非零。
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