安徽师范大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
2、存在 $n$ 个线性无关的 $n$ 维行向量 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，使得 $B=\alpha_{1}^{T} \alpha_{1}+\alpha_{2}^{T} \alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}^{T} \alpha_{n}$ ，其中 $\alpha_{i}^{T}$ 表示 $\alpha_{i}$ 的转置，$i=1, \cdots, n$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意并建立矩阵表示
已知存在 $n$ 个线性无关的 $n$ 维行向量 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$，它们构成 $\mathbb{R}^n$ 的一组基。令 $A$ 为以 $\alpha_i$ 为行向量的 $n \times n$ 矩阵，即 $A = \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix}$。由于行向量线性无关，$A$ 是可逆矩阵。
提示：注意行向量线性无关等价于矩阵可逆，但需确认是行向量而非列向量。
步骤 2/5
目标：将B表示为矩阵乘积形式
考虑 $B = \sum_{i=1}^n \alpha_i^T \alpha_i$。每个 $\alpha_i^T \alpha_i$ 是 $n \times n$ 矩阵，其 $(j,k)$ 元素为 $\alpha_i$ 的第 $j$ 个分量乘以第 $k$ 个分量。因此，$B$ 的 $(j,k)$ 元素为 $\sum_{i=1}^n a_{ij} a_{ik}$，其中 $a_{ij}$ 是 $\alpha_i$ 的第 $j$ 个分量。这正是 $A^T A$ 的 $(j,k)$ 元素，因为 $A^T A$ 的 $(j,k)$ 元素为 $\sum_{i=1}^n (A^T)_{ji} (A)_{ik} = \sum_{i=1}^n a_{ij} a_{ik}$。所以 $B = A^T A$。
公式：$B = A^T A$
提示：注意 $\alpha_i$ 是行向量，$\alpha_i^T$ 是列向量，乘积是矩阵。求和时不要混淆指标。
步骤 3/5
目标：分析矩阵A的性质
由于 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ 线性无关，矩阵 $A$ 的行向量线性无关，因此 $A$ 是可逆矩阵。可逆矩阵的行列式非零，且存在逆矩阵 $A^{-1}$。
提示：行向量线性无关与列向量线性无关在方阵中等价，但这里明确是行向量。
步骤 4/5
目标：证明B是正定矩阵
对于任意非零列向量 $x \in \mathbb{R}^n$，考虑二次型 $x^T B x = x^T (A^T A) x = (Ax)^T (Ax) = \|Ax\|^2$。由于 $A$ 可逆，$Ax \neq 0$，因此 $\|Ax\|^2 > 0$。所以 $x^T B x > 0$ 对所有非零 $x$ 成立，即 $B$ 是正定矩阵。
公式：$x^T B x = \|Ax\|^2 > 0$
提示：正定性要求对所有非零向量二次型大于零，这里利用了A的可逆性。
步骤 5/5
目标：得出B可逆的结论
正定矩阵一定是可逆矩阵，因为正定矩阵的特征值全为正数，行列式大于零。因此 $B$ 可逆。
提示：注意正定矩阵可逆，但可逆矩阵不一定正定。
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