安徽师范大学 2023年高等代数第0题

矩阵 $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 8 \\ 3 & -1 & 6 \\ -2 & 0 & -5 \end{pmatrix}$。特征多项式 $f(\lambda) = \det(\lambda I - A) = \det\begin{pmatrix} \lambda-3 & 0 & -8 \\ -3 & \lambda+1 & -6 \\ 2 & 0 & \lambda+5 \end{pmatrix}$。按第二列展开：$f(\lambda) = (\lambda+1) \det\begin{pmatrix} \lambda-3 & -8 \\ 2 & \lambda+5 \end{pmatrix} = (\lambda+1)[(\lambda-3)(\lambda+5) + 16] = (\lambda+1)(\lambda^2+2\lambda-15+16) = (\lambda+1)(\lambda^2+2\lambda+1) = (\lambda+1)^3$。

首先 $D_3(\lambda) = f(\lambda) = (\lambda+1)^3$。 计算 $D_2(\lambda)$：所有2阶子式的最大公因式。列出所有2阶子式： - $\begin{vmatrix} \lambda-3 & 0 \\ -3 & \lambda+1 \end{vmatrix} = (\lambda-3)(\lambda+1)$ - $\begin{vmatrix} \lambda-3 & -8 \\ -3 & -6 \end{vmatrix} = -6(\lambda+1)$ - $\begin{vmatrix} 0 & -8 \\ \lambda+1 & -6 \end{vmatrix} = 8(\lambda+1)$ - $\begin{vmatrix} -3 & \lambda+1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -2(\lambda+1)$ - $\begin{vmatrix} -3 & -6 \\ 2 & \lambda+5 \end{vmatrix} = -3(\lambda+1)$ - $\begin{vmatrix} \lambda+1 & -6 \\ 0 & \lambda+5 \end{vmatrix} = (\lambda+1)(\lambda+5)$ 所有2阶子式的公因式为 $\lambda+1$，故 $D_2(\lambda) = \lambda+1$。 $D_1(\lambda)$：所有1阶子式的最大公因式，即所有元素的公因式。元素有 $\lambda-3, 0, -8, -3, \lambda+1, -6, 2, 0, \lambda+5$，最大公因式为1，故 $D_1(\lambda)=1$。

不变因子由行列式因子确定：$d_1(\lambda) = D_1(\lambda) = 1$，$d_2(\lambda) = D_2(\lambda)/D_1(\lambda) = \lambda+1$，$d_3(\lambda) = D_3(\lambda)/D_2(\lambda) = (\lambda+1)^3/(\lambda+1) = (\lambda+1)^2$。因此不变因子为 $1, \lambda+1, (\lambda+1)^2$。

将不变因子分解为一次因式的幂：$\lambda+1$ 和 $(\lambda+1)^2$。因此初等因子为 $\lambda+1$ 和 $(\lambda+1)^2$。

最小多项式是最后一个不变因子 $d_3(\lambda) = (\lambda+1)^2$，因为它是特征多项式的因子且满足 $d_3(A)=0$（验证略）。故最小多项式 $m(\lambda) = (\lambda+1)^2$。

初等因子 $\lambda+1$ 对应1阶若尔当块 $J_1(-1)$，$(\lambda+1)^2$ 对应2阶若尔当块 $J_2(-1) = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$。因此若尔当标准形为 $J = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$。