📝 安徽师范大学 2023年高等代数真题
第0题
一，（15 分）写出 $\displaystyle f(x)=x^{6}+1$ 在有理数域，实数域，复数域上的因式分解．
第0题
七，（20 分）求 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 8 \\ 3 & -1 & 6 \\ -2 & 0 & -5\end{array}\right)$ 的行列式因子，不变因子，初等因子，最小多项式，若尔当标准形。
第0题
三，（15 分）求 $\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{cccccc}1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 1\end{array}\right|$ ．
第0题
九，（15 分）证明：任意一个实可逆矩阵都可以分解为一个正交矩阵与一个主
对角线元都为正数的上三角矩阵的乘积，并且这种分解是唯一的．
对角线元都为正数的上三角矩阵的乘积，并且这种分解是唯一的．
第0题
二，（15 分）已知 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是不为零的多项式，$\displaystyle h(x)$ 的首项系数为 1 ，则 $\displaystyle (f(x), g(x))=d(x)$ 的充要条件是 $\displaystyle (f(x) h(x), g(x) h(x))=d(x) h(x)$ ．
第0题
五，（15 分）已知 $m$ 个向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \cdots \alpha_{m}$ 线性相关，但其中 $\displaystyle m-1$ 个都线性无关。证明
（1）如果等式 $\displaystyle k_{1} \alpha_{1}+\cdots+k_{m} \alpha_{m}=0$ ，则这些 $\displaystyle k_{1}, \cdots k_{m}$ 或者全为零，或者全不为零；
（2）如果存在两个等式 $\displaystyle k_{1} \alpha_{1}+\cdots+k_{m} \alpha_{m}=0$ 与 $\displaystyle l_{1} \alpha_{1}+\cdots+l_{m} \alpha_{m}=0$ ，其中 $\displaystyle l_{1} \neq 0$ ，则 $\displaystyle \frac{k_{1}}{l_{1}}=\frac{k_{2}}{l_{2}}=\cdots=\frac{k_{m}}{l_{m}}$.
（1）如果等式 $\displaystyle k_{1} \alpha_{1}+\cdots+k_{m} \alpha_{m}=0$ ，则这些 $\displaystyle k_{1}, \cdots k_{m}$ 或者全为零，或者全不为零；
（2）如果存在两个等式 $\displaystyle k_{1} \alpha_{1}+\cdots+k_{m} \alpha_{m}=0$ 与 $\displaystyle l_{1} \alpha_{1}+\cdots+l_{m} \alpha_{m}=0$ ，其中 $\displaystyle l_{1} \neq 0$ ，则 $\displaystyle \frac{k_{1}}{l_{1}}=\frac{k_{2}}{l_{2}}=\cdots=\frac{k_{m}}{l_{m}}$.
第0题
八，（20 分）$\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{1} x_{4}-2 x_{2} x_{3}+2 x_{2} x_{4}+2 x_{3} x_{4}$ ，写出正交线性替换化为标准形。
第0题
六，（15 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}, \mathcal{B}$ 是 $V$ 的两个线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{A}$有 $n$ 个互异的特征值，证明：若 $\displaystyle \mathcal{A} \mathcal{B}=\mathcal{B} \mathcal{A}$ ，则 $\displaystyle \mathcal{B}$ 是 $\displaystyle \varepsilon, \mathcal{A}^{1}, \mathcal{A}^{2}, \cdots, \mathcal{A}^{n-1}$ 的线性组合。
第0题
四，（15 分）设非齐次线性方程组 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m}\end{array}\right)(*)$ 有解，其系数矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，证明非齐次线性方程组（＊）有 $\displaystyle n-r+1$ 个线性无关的解，且任意的解可由其线性表示。