安徽师范大学 2023年高等代数第0题

设 $A$ 的列向量为 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$，它们线性无关。进行Gram-Schmidt正交化：令 $\beta_1 = \alpha_1$，$\gamma_1 = \frac{\beta_1}{\|\beta_1\|}$；对于 $k=2,\dots,n$，令 $\beta_k = \alpha_k - \sum_{i=1}^{k-1} (\alpha_k \cdot \gamma_i) \gamma_i$，$\gamma_k = \frac{\beta_k}{\|\beta_k\|}$。由于 $\alpha_i$ 线性无关，每个 $\beta_k \neq 0$，故 $\|\beta_k\| > 0$。

由正交化得到的 $\gamma_1, \dots, \gamma_n$ 构成一组标准正交基。令 $Q = (\gamma_1, \dots, \gamma_n)$，则 $Q$ 是正交矩阵，即 $Q^T Q = I$。

由正交化过程，每个 $\alpha_i$ 可表示为 $\gamma_1, \dots, \gamma_i$ 的线性组合：$\alpha_i = \sum_{j=1}^i r_{ji} \gamma_j$，其中 $r_{ji} = \alpha_i \cdot \gamma_j$，特别地 $r_{ii} = \|\beta_i\| > 0$。因此 $A = (\alpha_1, \dots, \alpha_n) = (\gamma_1, \dots, \gamma_n) R$，其中 $R$ 是上三角矩阵且主对角线元 $r_{ii} > 0$。

由上述构造，我们得到了正交矩阵 $Q$ 和主对角线元为正的上三角矩阵 $R$，使得 $A = QR$。因此任意实可逆矩阵都存在这样的分解。

设 $A = Q_1 R_1 = Q_2 R_2$，其中 $Q_1, Q_2$ 正交，$R_1, R_2$ 主对角线元为正的上三角矩阵。则 $Q_2^{-1} Q_1 = R_2 R_1^{-1}$。令 $S = R_2 R_1^{-1}$，则 $S$ 既是正交矩阵（因为左边是正交矩阵的乘积）又是上三角矩阵（因为上三角矩阵的逆和乘积仍是上三角矩阵），且主对角线元为正。

对于上三角正交矩阵 $S$，由 $S^T S = I$ 可推出 $S$ 是对角矩阵且对角线元为 $\pm 1$。因为 $S$ 是上三角，设 $S = (s_{ij})$，则 $S^T S$ 的 $(1,1)$ 元为 $s_{11}^2 = 1$，故 $s_{11} = \pm 1$。类似地，由 $(2,2)$ 元得 $s_{12}^2 + s_{22}^2 = 1$，但 $s_{12}=0$（因为 $S$ 上三角且 $S^T S$ 的 $(1,2)$ 元为 $s_{11}s_{12}=0$，而 $s_{11}\neq0$，故 $s_{12}=0$），所以 $s_{22}^2=1$，$s_{22}=\pm1$。依此类推，$S$ 是对角矩阵，对角线元为 $\pm1$。又因为 $S$ 的主对角线元为正，故 $S = I$。于是 $R_2 = R_1$，$Q_2 = Q_1$。

任意实可逆矩阵 $A$ 可唯一分解为 $A = QR$，其中 $Q$ 是正交矩阵，$R$ 是主对角线元为正的上三角矩阵。