安徽师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
三，（15 分）求 $\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{cccccc}1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 1\end{array}\right|$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：按第一行展开行列式
设 $D_n$ 为 $n$ 阶行列式。按第一行展开：
$$D_n = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{vmatrix}_{(n-1)} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{vmatrix}_{(n-1)}$$
公式：行列式按行展开公式
提示：注意符号：第一行第一列元素 $a_{11}=1$，代数余子式符号为正；第一行第二列元素 $a_{12}=1$，代数余子式符号为负。
步骤 2/8
目标：识别第一个子行列式为 $D_{n-1}$
第一个子行列式与 $D_{n-1}$ 结构相同，因此等于 $D_{n-1}$。
提示：确认子行列式的阶数和结构是否与 $D_{n-1}$ 一致。
步骤 3/8
目标：展开第二个子行列式
第二个子行列式按第一行展开：
$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{vmatrix}_{(n-2)} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{vmatrix}_{(n-2)}$$
公式：行列式按行展开公式
提示：注意第二个子行列式的第一行第一列元素为1，第一行第二列元素为1，其余为0。
步骤 4/8
目标：化简第二个子行列式的结果
第一个子行列式是 $D_{n-2}$；第二个子行列式的第一列全为零，因此值为0。所以第二个子行列式等于 $D_{n-2}$。
提示：若一列全为零，行列式值为0。
步骤 5/8
目标：建立递推关系
由前几步得到递推关系：
$$D_n = D_{n-1} - D_{n-2}$$
公式：递推关系 $D_n = D_{n-1} - D_{n-2}$
提示：注意符号：$D_n = D_{n-1} - D_{n-2}$，不要漏掉负号。
步骤 6/8
目标：计算初始值
计算 $D_1$ 和 $D_2$：
$$D_1 = |1| = 1$$
$$D_2 = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 0$$
提示：注意 $D_2$ 的计算结果为零。
步骤 7/8
目标：求解递推关系
特征方程 $r^2 - r + 1 = 0$，解得 $r = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} = e^{\pm i\pi/3}$。通解形式：
$$D_n = A \cos\frac{n\pi}{3} + B \sin\frac{n\pi}{3}$$
代入 $n=1$ 和 $n=2$：
$$1 = A \cos\frac{\pi}{3} + B \sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}A + \frac{\sqrt{3}}{2}B$$
$$0 = A \cos\frac{2\pi}{3} + B \sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}A + \frac{\sqrt{3}}{2}B$$
解得 $A=1$，$B=\frac{1}{\sqrt{3}}$。
公式：特征方程 $r^2 - r + 1 = 0$，通解 $D_n = A \cos\frac{n\pi}{3} + B \sin\frac{n\pi}{3}$
提示：注意特征根为复数，利用欧拉公式转化为三角函数形式。
步骤 8/8
目标：化简最终表达式
将 $A=1$，$B=\frac{1}{\sqrt{3}}$ 代入通解：
$$D_n = \cos\frac{n\pi}{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} \sin\frac{n\pi}{3}$$
利用辅助角公式化简：
$$D_n = \frac{2}{\sqrt{3}} \sin\left(\frac{n\pi}{3} + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{2}{\sqrt{3}} \sin\frac{(n+1)\pi}{3}$$
公式：辅助角公式 $a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$
提示：注意辅助角公式中相位角的正切值。
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