安徽师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
四，（15 分）设非齐次线性方程组 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m}\end{array}\right)(*)$ 有解，其系数矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，证明非齐次线性方程组（＊）有 $\displaystyle n-r+1$ 个线性无关的解，且任意的解可由其线性表示。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定齐次方程组的基础解系
设非齐次线性方程组为 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$，其中 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，秩 $r(A)=r$，且方程组有解。考虑对应的齐次线性方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$。由于 $r(A)=r$，齐次方程组的基础解系含有 $n-r$ 个线性无关的解向量，记为 $\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \dots, \boldsymbol{\eta}_{n-r}$。
公式：齐次方程组基础解系向量个数 = n - r
提示：注意基础解系中向量个数为 $n-r$，而不是 $r$。
步骤 2/6
目标：取非齐次方程组的一个特解
由于非齐次方程组有解，取一个特解 $\boldsymbol{\xi}_0$，满足 $A\boldsymbol{\xi}_0=\mathbf{b}$。
提示：特解是任意一个满足方程组的解，通常通过自由变量取0得到。
步骤 3/6
目标：构造 $n-r+1$ 个解向量
令 $\boldsymbol{\xi}_1 = \boldsymbol{\xi}_0$，$\boldsymbol{\xi}_2 = \boldsymbol{\xi}_0 + \boldsymbol{\eta}_1$，$\dots$，$\boldsymbol{\xi}_{n-r+1} = \boldsymbol{\xi}_0 + \boldsymbol{\eta}_{n-r}$。这些向量都是非齐次方程组的解，因为 $A(\boldsymbol{\xi}_0+\boldsymbol{\eta}_i)=A\boldsymbol{\xi}_0+A\boldsymbol{\eta}_i=\mathbf{b}+\mathbf{0}=\mathbf{b}$。
提示：注意 $\boldsymbol{\xi}_1$ 就是特解本身，其余是特解加上齐次解。
步骤 4/6
目标：证明这些解向量线性无关
设存在常数 $k_1, k_2, \dots, k_{n-r+1}$ 使得 $k_1\boldsymbol{\xi}_1 + k_2\boldsymbol{\xi}_2 + \cdots + k_{n-r+1}\boldsymbol{\xi}_{n-r+1} = \mathbf{0}$。代入 $\boldsymbol{\xi}_i = \boldsymbol{\xi}_0 + \boldsymbol{\eta}_{i-1}$（其中 $\boldsymbol{\eta}_0=\mathbf{0}$），得 $\left(\sum_{i=1}^{n-r+1} k_i\right)\boldsymbol{\xi}_0 + \sum_{i=2}^{n-r+1} k_i\boldsymbol{\eta}_{i-1} = \mathbf{0}$。两边左乘 $A$，利用 $A\boldsymbol{\xi}_0=\mathbf{b}$，$A\boldsymbol{\eta}_j=\mathbf{0}$，得 $\left(\sum_{i=1}^{n-r+1} k_i\right)\mathbf{b} = \mathbf{0}$。由于方程组有解且 $\mathbf{b}\neq\mathbf{0}$（否则为齐次），故 $\sum_{i=1}^{n-r+1} k_i = 0$。代入上式得 $\sum_{i=2}^{n-r+1} k_i\boldsymbol{\eta}_{i-1} = \mathbf{0}$。由于 $\boldsymbol{\eta}_1,\dots,\boldsymbol{\eta}_{n-r}$ 线性无关，所以 $k_2=k_3=\cdots=k_{n-r+1}=0$，进而 $k_1=0$。因此 $\boldsymbol{\xi}_1,\dots,\boldsymbol{\xi}_{n-r+1}$ 线性无关。
公式：线性无关定义：组合为零推出系数全为零
提示：关键步骤是左乘 $A$ 得到系数和为零，然后利用齐次解线性无关。注意 $\mathbf{b}\neq\mathbf{0}$ 的条件。
步骤 5/6
目标：证明任意解可由它们线性表示
设 $\boldsymbol{\xi}$ 是任一非齐次方程组的解，则 $\boldsymbol{\xi}-\boldsymbol{\xi}_0$ 是齐次方程组的解，故存在常数 $c_1,\dots,c_{n-r}$ 使得 $\boldsymbol{\xi}-\boldsymbol{\xi}_0 = c_1\boldsymbol{\eta}_1 + \cdots + c_{n-r}\boldsymbol{\eta}_{n-r}$。于是 $\boldsymbol{\xi} = \boldsymbol{\xi}_0 + \sum_{i=1}^{n-r} c_i\boldsymbol{\eta}_i = \left(1-\sum_{i=1}^{n-r} c_i\right)\boldsymbol{\xi}_0 + \sum_{i=1}^{n-r} c_i(\boldsymbol{\xi}_0+\boldsymbol{\eta}_i) = \left(1-\sum_{i=1}^{n-r} c_i\right)\boldsymbol{\xi}_1 + \sum_{i=2}^{n-r+1} c_{i-1}\boldsymbol{\xi}_i$。因此 $\boldsymbol{\xi}$ 可由 $\boldsymbol{\xi}_1,\dots,\boldsymbol{\xi}_{n-r+1}$ 线性表示。
公式：非齐次解的结构：特解+齐次解
提示：注意将 $\boldsymbol{\xi}_0$ 和 $\boldsymbol{\xi}_0+\boldsymbol{\eta}_i$ 用构造的向量表示。
步骤 6/6
目标：总结结论
综上，非齐次线性方程组有 $n-r+1$ 个线性无关的解，且任意解可由它们线性表示。
提示：结论要明确：线性无关解的个数是 $n-r+1$。
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