安徽师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
五，（15 分）已知 $m$ 个向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \cdots \alpha_{m}$ 线性相关，但其中 $\displaystyle m-1$ 个都线性无关。证明
（1）如果等式 $\displaystyle k_{1} \alpha_{1}+\cdots+k_{m} \alpha_{m}=0$ ，则这些 $\displaystyle k_{1}, \cdots k_{m}$ 或者全为零，或者全不为零；
（2）如果存在两个等式 $\displaystyle k_{1} \alpha_{1}+\cdots+k_{m} \alpha_{m}=0$ 与 $\displaystyle l_{1} \alpha_{1}+\cdots+l_{m} \alpha_{m}=0$ ，其中 $\displaystyle l_{1} \neq 0$ ，则 $\displaystyle \frac{k_{1}}{l_{1}}=\frac{k_{2}}{l_{2}}=\cdots=\frac{k_{m}}{l_{m}}$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解已知条件
已知 $m$ 个向量 $\alpha_1, \ldots, \alpha_m$ 线性相关，但任意 $m-1$ 个向量都线性无关。这意味着存在一组不全为零的系数使得线性组合为零，但任何少于 $m$ 个向量的子集都线性无关。
提示：注意“任意 $m-1$ 个都线性无关”意味着所有 $m-1$ 个向量的子集都是线性无关的，包括去掉任何一个向量后的集合。
步骤 2/7
目标：证明(1)：系数要么全为零，要么全不为零
假设 $k_1 \alpha_1 + \cdots + k_m \alpha_m = 0$。如果存在某个 $k_i = 0$，则去掉该项后，剩下的 $m-1$ 个向量的线性组合为 $\sum_{j \neq i} k_j \alpha_j = 0$，且系数不全为零（因为原系数不全为零，且 $k_i=0$）。但这与任意 $m-1$ 个向量线性无关矛盾。因此，不可能有某个 $k_i=0$ 而其他系数不全为零。所以要么所有 $k_i=0$，要么所有 $k_i \neq 0$。
提示：反证法：假设存在零系数，推出矛盾。注意系数不全为零是线性相关的定义。
步骤 3/7
目标：证明(2)的前提：由(1)知所有 $l_i \neq 0$
已知 $l_1 \alpha_1 + \cdots + l_m \alpha_m = 0$ 且 $l_1 \neq 0$。由(1)的结论，所有 $l_i$ 要么全为零，要么全不为零。既然 $l_1 \neq 0$，则所有 $l_i \neq 0$。
提示：直接应用(1)的结论，注意条件 $l_1 \neq 0$ 保证了全不为零。
步骤 4/7
目标：构造线性组合消去 $\alpha_1$
考虑 $l_1$ 乘以第一个等式减去 $k_1$ 乘以第二个等式：$l_1(k_1 \alpha_1 + \cdots + k_m \alpha_m) - k_1(l_1 \alpha_1 + \cdots + l_m \alpha_m) = 0$。化简得 $(l_1 k_2 - k_1 l_2) \alpha_2 + \cdots + (l_1 k_m - k_1 l_m) \alpha_m = 0$。
公式：$l_1(k_1 \alpha_1 + \cdots + k_m \alpha_m) - k_1(l_1 \alpha_1 + \cdots + l_m \alpha_m) = 0$
提示：注意 $\alpha_1$ 的系数 $l_1 k_1 - k_1 l_1 = 0$，所以消去了 $\alpha_1$。
步骤 5/7
目标：利用 $\alpha_2, \ldots, \alpha_m$ 线性无关
由于 $\alpha_2, \ldots, \alpha_m$ 是 $m-1$ 个向量，由已知条件它们线性无关。因此，上一步得到的线性组合中所有系数必须为零：$l_1 k_i - k_1 l_i = 0$ 对所有 $i=2,\ldots,m$ 成立。
公式：$l_1 k_i - k_1 l_i = 0$ 对于 $i=2,\ldots,m$
提示：线性无关的定义：若系数组合为零，则所有系数为零。
步骤 6/7
目标：推导比例关系
由 $l_1 k_i - k_1 l_i = 0$ 得 $l_1 k_i = k_1 l_i$。由于 $l_1 \neq 0$ 且 $l_i \neq 0$（由(1)知），可除以 $l_1 l_i$ 得 $\frac{k_i}{l_i} = \frac{k_1}{l_1}$。因此 $\frac{k_1}{l_1} = \frac{k_2}{l_2} = \cdots = \frac{k_m}{l_m}$。
公式：$\frac{k_i}{l_i} = \frac{k_1}{l_1}$
提示：注意分母不为零，否则比例无意义。
步骤 7/7
目标：总结结论
(1) 若 $k_1 \alpha_1 + \cdots + k_m \alpha_m = 0$，则系数要么全为零，要么全不为零。(2) 若存在两个这样的等式，且 $l_1 \neq 0$，则对应系数成比例。
提示：结论(2)表明所有系数成比例，即两个等式本质上是同一个线性关系。
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