安徽师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
八，（20 分）$\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{1} x_{4}-2 x_{2} x_{3}+2 x_{2} x_{4}+2 x_{3} x_{4}$ ，写出正交线性替换化为标准形。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出二次型的矩阵
二次型 $f(x_1,x_2,x_3,x_4)=2x_1x_2+2x_1x_3-2x_1x_4-2x_2x_3+2x_2x_4+2x_3x_4$ 可表示为 $f(\mathbf{x})=\mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，其中 $A$ 为对称矩阵。根据二次型系数，$a_{ij}$ 为 $x_ix_j$ 系数的一半（$i\neq j$），$a_{ii}=0$。因此 $$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$
公式：二次型矩阵元素：$a_{ij}=a_{ji}$，且 $f(\mathbf{x})=\sum_{i,j}a_{ij}x_ix_j$
提示：注意交叉项系数要除以2，且矩阵必须对称。
步骤 2/7
目标：求特征值
计算特征多项式 $\det(\lambda I - A)=0$：$$\det\begin{pmatrix} \lambda & -1 & -1 & 1 \\ -1 & \lambda & 1 & -1 \\ -1 & 1 & \lambda & -1 \\ 1 & -1 & -1 & \lambda \end{pmatrix}=0.$$ 通过行变换或直接计算得：$$\det(\lambda I - A)=\lambda^4-6\lambda^2+8\lambda-3=(\lambda-1)^3(\lambda+3).$$ 特征值：$\lambda_1=1$（三重），$\lambda_2=-3$（单重）。
公式：$\det(\lambda I - A)=0$
提示：计算行列式时注意利用矩阵的特殊结构简化运算，例如行和相等。
步骤 3/7
目标：求特征向量（λ=1）
解 $(I-A)\mathbf{x}=0$：$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}\mathbf{x}=0.$$ 矩阵秩为1，基础解系含3个向量：$\alpha_1=(1,1,0,0)^T$，$\alpha_2=(1,0,1,0)^T$，$\alpha_3=(-1,0,0,1)^T$。
公式：$(\lambda I - A)\mathbf{x}=0$
提示：注意基础解系不唯一，但需线性无关。
步骤 4/7
目标：求特征向量（λ=-3）
解 $(-3I-A)\mathbf{x}=0$：$$\begin{pmatrix} -3 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & -3 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & -3 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & -3 \end{pmatrix}\mathbf{x}=0.$$ 基础解系：$\beta=(1,-1,-1,1)^T$。
公式：$(\lambda I - A)\mathbf{x}=0$
提示：解齐次方程组时注意化简。
步骤 5/7
目标：施密特正交化（λ=1的特征向量）
对 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 进行施密特正交化：
- $\gamma_1=\alpha_1=(1,1,0,0)^T$。
- $\gamma_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\gamma_1)}{(\gamma_1,\gamma_1)}\gamma_1=(1,0,1,0)^T-\frac{1}{2}(1,1,0,0)^T=(\frac12,-\frac12,1,0)^T$。
- $\gamma_3=\alpha_3-\frac{(\alpha_3,\gamma_1)}{(\gamma_1,\gamma_1)}\gamma_1-\frac{(\alpha_3,\gamma_2)}{(\gamma_2,\gamma_2)}\gamma_2$。计算内积：$(\alpha_3,\gamma_1)=-1$，$(\gamma_1,\gamma_1)=2$；$(\alpha_3,\gamma_2)=-\frac12$，$(\gamma_2,\gamma_2)=\frac32$。因此 $\gamma_3=(-1,0,0,1)^T+\frac12(1,1,0,0)^T-\frac13(\frac12,-\frac12,1,0)^T=(-\frac23,\frac23,-\frac13,1)^T$，乘以3得 $(-2,2,-1,3)^T$。
公式：$\gamma_k=\alpha_k-\sum_{i=1}^{k-1}\frac{(\alpha_k,\gamma_i)}{(\gamma_i,\gamma_i)}\gamma_i$
提示：正交化过程中注意内积计算，避免符号错误。
步骤 6/7
目标：单位化特征向量
将正交向量组单位化：
- $\eta_1=\frac{\gamma_1}{\|\gamma_1\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0,0)^T$。
- $\eta_2=\frac{\gamma_2}{\|\gamma_2\|}=\frac{1}{\sqrt{3/2}}(\frac12,-\frac12,1,0)^T=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2,0)^T$。
- $\eta_3=\frac{\gamma_3}{\|\gamma_3\|}$，$\|\gamma_3\|=\sqrt{4+4+1+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，所以 $\eta_3=\frac{1}{3\sqrt{2}}(-2,2,-1,3)^T$。
- 对于 $\lambda=-3$：$\beta=(1,-1,-1,1)^T$，单位化：$\eta_4=\frac{1}{2}(1,-1,-1,1)^T$。
公式：$\eta_i=\frac{\gamma_i}{\|\gamma_i\|}$
提示：单位化时注意模长计算，分母有理化可简化表达。
步骤 7/7
目标：写出正交线性替换和标准形
令 $\mathbf{x}=Q\mathbf{y}$，其中 $Q=(\eta_1,\eta_2,\eta_3,\eta_4)$，则正交线性替换为：$$Q=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{2}{3\sqrt{2}} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{2}{3\sqrt{2}} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{3\sqrt{2}} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & \frac{3}{3\sqrt{2}} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{\sqrt{2}}{3} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{3\sqrt{2}} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$ 标准形为 $f=y_1^2+y_2^2+y_3^2-3y_4^2$。
公式：$f=\mathbf{y}^T Q^T A Q \mathbf{y}=\lambda_1 y_1^2+\cdots+\lambda_n y_n^2$
提示：正交矩阵的列向量是单位正交的特征向量，顺序对应特征值。
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