安徽师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
六，（15 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}, \mathcal{B}$ 是 $V$ 的两个线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{A}$有 $n$ 个互异的特征值，证明：若 $\displaystyle \mathcal{A} \mathcal{B}=\mathcal{B} \mathcal{A}$ ，则 $\displaystyle \mathcal{B}$ 是 $\displaystyle \varepsilon, \mathcal{A}^{1}, \mathcal{A}^{2}, \cdots, \mathcal{A}^{n-1}$ 的线性组合。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用互异特征值构造基
设 $\mathcal{A}$ 有 $n$ 个互异的特征值 $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$，对应的特征向量分别为 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$。由于特征值互异，特征向量线性无关，因此 $\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}$ 构成 $V$ 的一组基。
提示：注意特征值互异保证特征向量线性无关，从而构成基。
步骤 2/5
目标：利用交换性推导 $\mathcal{B}$ 在基下的作用
由 $\mathcal{A}\mathcal{B}=\mathcal{B}\mathcal{A}$，对每个 $i$ 有 $\mathcal{A}\mathcal{B}(\alpha_i)=\mathcal{B}\mathcal{A}(\alpha_i)=\lambda_i\mathcal{B}(\alpha_i)$，故 $\mathcal{B}(\alpha_i)$ 也是 $\mathcal{A}$ 的属于特征值 $\lambda_i$ 的特征向量。由于特征空间是一维的，存在 $\mu_i\in P$ 使得 $\mathcal{B}(\alpha_i)=\mu_i\alpha_i$。
公式：$\mathcal{A}\mathcal{B}(\alpha_i)=\lambda_i\mathcal{B}(\alpha_i)$
提示：注意特征空间一维性：属于同一特征值的特征向量成比例。
步骤 3/5
目标：将问题转化为多项式插值
考虑线性变换 $\mathcal{C}=\sum_{k=0}^{n-1}c_k\mathcal{A}^k$，其中 $c_k$ 待定。$\mathcal{C}$ 在基 $\{\alpha_i\}$ 下的矩阵为对角矩阵 $\operatorname{diag}(f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_n))$，其中 $f(x)=\sum_{k=0}^{n-1}c_kx^k$。而 $\mathcal{B}$ 在该基下的矩阵为 $\operatorname{diag}(\mu_1,\dots,\mu_n)$。欲使 $\mathcal{B}=\mathcal{C}$，只需 $f(\lambda_i)=\mu_i$ 对 $i=1,\dots,n$ 成立。
公式：$\mathcal{C}(\alpha_i)=f(\lambda_i)\alpha_i$
提示：注意 $\mathcal{A}^k$ 在特征向量上的作用：$\mathcal{A}^k\alpha_i=\lambda_i^k\alpha_i$。
步骤 4/5
目标：应用拉格朗日插值定理
由于 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ 互异，存在唯一次数不超过 $n-1$ 的多项式 $f(x)$ 满足 $f(\lambda_i)=\mu_i$（拉格朗日插值）。因此存在系数 $c_0,\dots,c_{n-1}$ 使得 $f(x)=\sum_{k=0}^{n-1}c_kx^k$。
公式：$f(x)=\sum_{i=1}^n\mu_i\prod_{j\neq i}\frac{x-\lambda_j}{\lambda_i-\lambda_j}$
提示：插值多项式存在且唯一，次数不超过 $n-1$。
步骤 5/5
目标：得出结论
于是 $\mathcal{B}=f(\mathcal{A})=\sum_{k=0}^{n-1}c_k\mathcal{A}^k$，即 $\mathcal{B}$ 是 $\varepsilon,\mathcal{A},\mathcal{A}^2,\dots,\mathcal{A}^{n-1}$ 的线性组合。
公式：$\mathcal{B}=f(\mathcal{A})$
提示：注意 $\mathcal{A}^0=\varepsilon$（恒等变换）。
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