安徽师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
二，（15 分）已知 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是不为零的多项式，$\displaystyle h(x)$ 的首项系数为 1 ，则 $\displaystyle (f(x), g(x))=d(x)$ 的充要条件是 $\displaystyle (f(x) h(x), g(x) h(x))=d(x) h(x)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设定符号和已知条件
设 $d(x) = (f(x), g(x))$，则存在多项式 $u(x), v(x)$ 使得 $u(x)f(x) + v(x)g(x) = d(x)$。
公式：u(x)f(x) + v(x)g(x) = d(x)
提示：注意最大公因式的定义和贝祖定理的使用条件。
步骤 2/7
目标：必要性：证明 $d(x)h(x)$ 是公因式
若 $(f(x), g(x)) = d(x)$，则 $d(x) \mid f(x)$ 且 $d(x) \mid g(x)$，从而 $d(x)h(x) \mid f(x)h(x)$ 且 $d(x)h(x) \mid g(x)h(x)$，故 $d(x)h(x)$ 是 $f(x)h(x)$ 和 $g(x)h(x)$ 的公因式。
提示：注意整除关系的传递性：若 $d \mid f$，则 $dh \mid fh$。
步骤 3/7
目标：必要性：证明 $d(x)h(x)$ 是最大公因式
由 $u(x)f(x) + v(x)g(x) = d(x)$ 得 $u(x)f(x)h(x) + v(x)g(x)h(x) = d(x)h(x)$，因此 $d(x)h(x)$ 是 $f(x)h(x)$ 和 $g(x)h(x)$ 的线性组合，故 $d(x)h(x)$ 是它们的最大公因式，即 $(f(x)h(x), g(x)h(x)) = d(x)h(x)$。
公式：u(x)f(x)h(x) + v(x)g(x)h(x) = d(x)h(x)
提示：公因式若能表示为线性组合，则必为最大公因式。
步骤 4/7
目标：充分性：由条件得到线性组合
若 $(f(x)h(x), g(x)h(x)) = d(x)h(x)$，则存在多项式 $p(x), q(x)$ 使得 $p(x)f(x)h(x) + q(x)g(x)h(x) = d(x)h(x)$，即 $[p(x)f(x) + q(x)g(x)]h(x) = d(x)h(x)$。由于 $h(x) \neq 0$，两边约去 $h(x)$ 得 $p(x)f(x) + q(x)g(x) = d(x)$，故 $d(x)$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的线性组合。
公式：p(x)f(x) + q(x)g(x) = d(x)
提示：约去 $h(x)$ 时需注意 $h(x)$ 非零，否则不能约。
步骤 5/7
目标：充分性：证明 $d(x)$ 是公因式
因为 $d(x)h(x) \mid f(x)h(x)$，所以 $f(x)h(x) = d(x)h(x) \cdot k(x)$，即 $f(x) = d(x)k(x)$，故 $d(x) \mid f(x)$。同理 $d(x) \mid g(x)$，因此 $d(x)$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的公因式。
提示：注意整除关系在约去 $h(x)$ 后仍然成立，因为 $h(x)$ 非零。
步骤 6/7
目标：充分性：得出 $d(x)$ 是最大公因式
结合 $d(x)$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的公因式以及线性组合，可知 $d(x)$ 是最大公因式，即 $(f(x), g(x)) = d(x)$。
提示：公因式若能表示为线性组合，则必为最大公因式。
步骤 7/7
目标：总结充要条件成立
综上，必要性：$(f,g)=d \Rightarrow (fh,gh)=dh$；充分性：$(fh,gh)=dh \Rightarrow (f,g)=d$。因此充要条件成立。
提示：注意充要条件证明的两个方向不可遗漏。
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