安徽师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
七、 $\displaystyle \left(8+7+5=20\right.$ 分）已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & a \\ 0 & -1 & a+1\end{array}\right)$ ．
（1）求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的行列式因子、不变因子、最小多项式．
（2）求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的初等因子，若尔当标准型．
（3）当 $a$ 取何值时，$A$ 与对角形相似．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：求特征多项式
计算 $|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 1 & \lambda & -a \\ 0 & 1 & \lambda - a - 1 \end{vmatrix} = \lambda \cdot \begin{vmatrix} \lambda & -a \\ 1 & \lambda - a - 1 \end{vmatrix} = \lambda [\lambda(\lambda - a - 1) + a] = \lambda(\lambda^2 - (a+1)\lambda + a) = \lambda(\lambda-1)(\lambda-a)$。
公式：$|\lambda I - A| = \lambda(\lambda-1)(\lambda-a)$
提示：注意展开行列式时，第一行只有第一个元素非零，按第一行展开简化计算。
步骤 2/7
目标：求行列式因子
计算各阶行列式因子：$D_3(\lambda) = |\lambda I - A| = \lambda(\lambda-1)(\lambda-a)$。计算所有2阶子式，如取第1,2行和第1,2列得 $\begin{vmatrix} \lambda & 0 \\ 1 & \lambda \end{vmatrix} = \lambda^2$；取第1,3行和第1,3列得 $\begin{vmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda - a - 1 \end{vmatrix} = \lambda(\lambda - a - 1)$；取第2,3行和第2,3列得 $\begin{vmatrix} \lambda & -a \\ 1 & \lambda - a - 1 \end{vmatrix} = \lambda(\lambda - a - 1) + a = (\lambda-1)(\lambda-a)$。这些子式的最大公因子为1，故 $D_2(\lambda)=1$。1阶子式的最大公因子也为1，故 $D_1(\lambda)=1$。
提示：求最大公因子时，注意多项式因式分解，若出现互素的多项式，则公因子为1。
步骤 3/7
目标：求不变因子
不变因子由行列式因子确定：$d_1(\lambda)=D_1(\lambda)=1$，$d_2(\lambda)=D_2(\lambda)/D_1(\lambda)=1$，$d_3(\lambda)=D_3(\lambda)/D_2(\lambda)=\lambda(\lambda-1)(\lambda-a)$。
公式：$d_i(\lambda) = D_i(\lambda)/D_{i-1}(\lambda)$
提示：注意顺序：$D_0(\lambda)=1$，且不变因子满足 $d_1|d_2|\cdots|d_n$。
步骤 4/7
目标：求最小多项式
最小多项式等于最后一个不变因子，即 $m(\lambda)=d_3(\lambda)=\lambda(\lambda-1)(\lambda-a)$。
公式：$m(\lambda)=d_n(\lambda)$
提示：对于方阵，最小多项式整除特征多项式，且与最后一个不变因子相同。
步骤 5/7
目标：求初等因子
将不变因子分解为一次因式的幂：$d_3(\lambda)=\lambda(\lambda-1)(\lambda-a)$。若 $a \neq 0,1$，则初等因子为 $\lambda,\lambda-1,\lambda-a$；若 $a=0$，则 $d_3(\lambda)=\lambda^2(\lambda-1)$，初等因子为 $\lambda^2,\lambda-1$；若 $a=1$，则 $d_3(\lambda)=\lambda(\lambda-1)^2$，初等因子为 $\lambda,(\lambda-1)^2$。
提示：初等因子由不变因子分解得到，注意区分不同特征值是否相等的情况。
步骤 6/7
目标：求若尔当标准型
根据初等因子写出若尔当块：若 $a \neq 0,1$，三个1阶若尔当块，$J=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&a\end{pmatrix}$；若 $a=0$，一个2阶若尔当块对应特征值0，一个1阶块对应1，$J=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$；若 $a=1$，一个1阶块对应0，一个2阶块对应1，$J=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$。
提示：若尔当块的对角线为特征值，次对角线为1，注意块的大小与初等因子指数对应。
步骤 7/7
目标：判断与对角形相似的条件
矩阵与对角形相似当且仅当最小多项式无重根，即 $m(\lambda)=\lambda(\lambda-1)(\lambda-a)$ 中三个因子互不相同，故 $a \neq 0$ 且 $a \neq 1$。
提示：对角化条件：最小多项式无重根，或每个特征值的几何重数等于代数重数。
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