📝 安徽师范大学 2025年高等代数真题
第0题
一、（15 分）已知 $\displaystyle f(x)=x^{4}-4$ ，证明：任何一个有理系数多项式 $\displaystyle g(x)$ ，有 $\displaystyle f(x) \mid g(x)$ 或 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ．
第0题
七、 $\displaystyle \left(8+7+5=20\right.$ 分）已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & a \\ 0 & -1 & a+1\end{array}\right)$ ．
（1）求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的行列式因子、不变因子、最小多项式．
（2）求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的初等因子，若尔当标准型．
（3）当 $a$ 取何值时，$A$ 与对角形相似．
（1）求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的行列式因子、不变因子、最小多项式．
（2）求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的初等因子，若尔当标准型．
（3）当 $a$ 取何值时，$A$ 与对角形相似．
第0题
三、（15 分）设向量 $\displaystyle \beta$ 可由向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性表出，证明：若 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ ， $\displaystyle \cdots, \mathbf{\alpha}_{r}$ 线性无关，则表示法是唯一的，反过来也正确。
第0题
九、 $\displaystyle \left(7+8=15\right.$ 分）已知 $\displaystyle W=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}a & b \\ -b & a\end{array}\right) \right\rvert\, a, b \in \mathbb{R}\right\}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的实矩阵。
（1）证明：$W$ 为实矩阵集 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 的子空间．
（2）求 $W$ 的一组基，并扩充为 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 的一组基，求 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}x & y \\ y & z\end{array}\right)$ 在该基下的矩阵。
（1）证明：$W$ 为实矩阵集 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 的子空间．
（2）求 $W$ 的一组基，并扩充为 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 的一组基，求 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}x & y \\ y & z\end{array}\right)$ 在该基下的矩阵。
第0题
二、（15 分）求 $D$ 按第一行展开的代数余子式之和 $\displaystyle \sum_{k=1}^{2025} A_{1, k}$ ，其中
$$
D=\left|\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & \cdots & 0 & 2025 \\
0 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 2024 & 0 \\
2025 & 0 & \cdots & 0 & 2025
\end{array}\right|
$$
$$
D=\left|\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & \cdots & 0 & 2025 \\
0 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 2024 & 0 \\
2025 & 0 & \cdots & 0 & 2025
\end{array}\right|
$$
第0题
五、（20 分）若二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}{ }^{2}+a x_{2}{ }^{2}+x_{3}{ }^{2}+2 b x_{2} x_{3}$ 经过正交变换 $\displaystyle x=P y$ 化为标准型 $\displaystyle y_{1}{ }^{2}+2 y_{2}{ }^{2}$ ，试求参数 $\displaystyle a, b$ 的值以及正交阵 $P$ ．六、（7＋8＝15分）已知 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 为线性变换，且 $\displaystyle \mathscr{A}=\mathscr{A} \mathscr{A} \mathscr{A}=\mathscr{B} \mathscr{A}$ 。
（1）证明： $\displaystyle \mathscr{A} V=\mathscr{A}^{2} V, \operatorname{Ker} \mathscr{A}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{2}$ ．
（2）$\displaystyle V=\mathscr{A} V \oplus \operatorname{Ker} \mathscr{A}$ ．
（1）证明： $\displaystyle \mathscr{A} V=\mathscr{A}^{2} V, \operatorname{Ker} \mathscr{A}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{2}$ ．
（2）$\displaystyle V=\mathscr{A} V \oplus \operatorname{Ker} \mathscr{A}$ ．
第0题
八、 $\displaystyle (\mathbf{1 0}+\mathbf{1 0}=\mathbf{2 0}$ 分）已知 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 为线性变换，且 $\displaystyle (\mathscr{A}, \mathbf{\alpha})=-(\mathbf{\alpha}, \mathscr{B} \mathbf{\beta})$ ．
（1）若 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在标准正交基 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n}$ 下的矩阵为 $A$ ，求 $\displaystyle \mathscr{F}$ 在该基下的矩阵 B．
（2）证明： $\displaystyle \mathbf{V}=\mathscr{A} \mathbf{V} \oplus(\mathscr{P} \mathbf{V})^{\perp}$ ，其中 $\displaystyle (\mathscr{B} \mathbf{V})^{\perp}$ 为 $\displaystyle \mathscr{P} \mathbf{V}$ 的正交补。
（1）若 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在标准正交基 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n}$ 下的矩阵为 $A$ ，求 $\displaystyle \mathscr{F}$ 在该基下的矩阵 B．
（2）证明： $\displaystyle \mathbf{V}=\mathscr{A} \mathbf{V} \oplus(\mathscr{P} \mathbf{V})^{\perp}$ ，其中 $\displaystyle (\mathscr{B} \mathbf{V})^{\perp}$ 为 $\displaystyle \mathscr{P} \mathbf{V}$ 的正交补。
第0题
四、 $\displaystyle (8+7=15$ 分）若 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶矩阵，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵。
（1）若 $B$ 为可逆矩阵，$\displaystyle E-A B$ 也可逆，证明：$\displaystyle A-B^{-1}$ 可逆．
（2）若 $\displaystyle A B-B A=A$ ，证明：$A$ 不可逆．
（1）若 $B$ 为可逆矩阵，$\displaystyle E-A B$ 也可逆，证明：$\displaystyle A-B^{-1}$ 可逆．
（2）若 $\displaystyle A B-B A=A$ ，证明：$A$ 不可逆．