安徽师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
八、 $\displaystyle (\mathbf{1 0}+\mathbf{1 0}=\mathbf{2 0}$ 分）已知 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 为线性变换，且 $\displaystyle (\mathscr{A}, \mathbf{\alpha})=-(\mathbf{\alpha}, \mathscr{B} \mathbf{\beta})$ ．
（1）若 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在标准正交基 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n}$ 下的矩阵为 $A$ ，求 $\displaystyle \mathscr{F}$ 在该基下的矩阵 B．
（2）证明： $\displaystyle \mathbf{V}=\mathscr{A} \mathbf{V} \oplus(\mathscr{P} \mathbf{V})^{\perp}$ ，其中 $\displaystyle (\mathscr{B} \mathbf{V})^{\perp}$ 为 $\displaystyle \mathscr{P} \mathbf{V}$ 的正交补。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解条件并建立矩阵关系
设标准正交基为 $\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_n$，$\mathscr{A}$ 在该基下的矩阵为 $A=(a_{ij})$，即 $\mathscr{A}\eta_j = \sum_{i=1}^n a_{ij}\eta_i$。由条件 $(\mathscr{A}\alpha,\beta)=-(\alpha,\mathscr{B}\beta)$ 对所有 $\alpha,\beta\in V$ 成立。取 $\alpha=\eta_j$，$\beta=\eta_k$，得 $(\mathscr{A}\eta_j,\eta_k)=-(\eta_j,\mathscr{B}\eta_k)$。
公式：$(\mathscr{A}\alpha,\beta)=-(\alpha,\mathscr{B}\beta)$
提示：注意标准正交基下内积的计算：$(\eta_i,\eta_j)=\delta_{ij}$。
步骤 2/7
目标：计算左边内积
左边 $(\mathscr{A}\eta_j,\eta_k) = (\sum_i a_{ij}\eta_i,\eta_k) = \sum_i a_{ij}(\eta_i,\eta_k) = a_{kj}$，因为 $(\eta_i,\eta_k)=1$ 当 $i=k$，否则为0。
公式：$(\sum_i a_{ij}\eta_i,\eta_k)=a_{kj}$
提示：注意求和指标，最终得到的是 $a_{kj}$ 而非 $a_{jk}$。
步骤 3/7
目标：计算右边内积并得到关系
设 $\mathscr{B}$ 在该基下的矩阵为 $B=(b_{ij})$，即 $\mathscr{B}\eta_k = \sum_i b_{ik}\eta_i$。右边 $-(\eta_j,\mathscr{B}\eta_k) = -(\eta_j,\sum_i b_{ik}\eta_i) = -\sum_i b_{ik}(\eta_j,\eta_i) = -b_{jk}$。因此 $a_{kj} = -b_{jk}$，即 $B = -A^T$。
公式：$a_{kj} = -b_{jk}$
提示：注意矩阵转置：$b_{jk}$ 对应 $B$ 的第 $j$ 行第 $k$ 列，而 $a_{kj}$ 对应 $A$ 的第 $k$ 行第 $j$ 列。
步骤 4/7
目标：将条件转化为伴随关系
由 $(\mathscr{A}\alpha,\beta)=-(\alpha,\mathscr{B}\beta)$ 对所有 $\alpha,\beta$ 成立，可知 $\mathscr{B} = -\mathscr{A}^*$，其中 $\mathscr{A}^*$ 是 $\mathscr{A}$ 的伴随变换。因为伴随变换满足 $(\mathscr{A}\alpha,\beta)=(\alpha,\mathscr{A}^*\beta)$，对比得 $\mathscr{A}^* = -\mathscr{B}$，即 $\mathscr{B} = -\mathscr{A}^*$。
公式：$\mathscr{B} = -\mathscr{A}^*$
提示：伴随变换的定义：$(\mathscr{A}\alpha,\beta)=(\alpha,\mathscr{A}^*\beta)$。
步骤 5/7
目标：利用伴随关系化简正交补
由于 $\mathscr{B} = -\mathscr{A}^*$，有 $\mathscr{B}V = \mathscr{A}^*V$（因为负号不改变像空间）。正交补 $(\mathscr{B}V)^\perp = (\mathscr{A}^*V)^\perp$。根据线性代数知识，$(\operatorname{Im}\mathscr{A}^*)^\perp = \ker\mathscr{A}$。因此 $(\mathscr{B}V)^\perp = \ker\mathscr{A}$。
公式：$(\operatorname{Im}\mathscr{A}^*)^\perp = \ker\mathscr{A}$
提示：该结论对有限维内积空间成立，证明：$x\in(\operatorname{Im}\mathscr{A}^*)^\perp \Leftrightarrow (x,\mathscr{A}^*y)=0,\forall y \Leftrightarrow (\mathscr{A}x,y)=0,\forall y \Leftrightarrow \mathscr{A}x=0$。
步骤 6/7
目标：证明直和分解中的交为零
要证 $V = \mathscr{A}V \oplus (\mathscr{B}V)^\perp$，即 $\mathscr{A}V \cap (\mathscr{B}V)^\perp = \{0\}$ 且维数之和为 $n$。先证交为零：取 $x \in \mathscr{A}V \cap (\mathscr{B}V)^\perp$，则存在 $u$ 使 $x=\mathscr{A}u$，且 $x \in \ker\mathscr{A}$（由上一步），故 $\mathscr{A}x=0$，即 $\mathscr{A}^2 u=0$。同时，由 $x \in (\mathscr{B}V)^\perp$，对任意 $v$ 有 $(x,\mathscr{B}v)=0$，特别取 $v=u$，得 $(\mathscr{A}u,\mathscr{B}u)=0$。利用 $\mathscr{B}=-\mathscr{A}^*$，有 $(\mathscr{A}u,\mathscr{B}u)=-(\mathscr{A}u,\mathscr{A}^*u)=-(\mathscr{A}^*\mathscr{A}u,u)$。而 $\mathscr{A}^2 u=0$ 不能直接推出 $\mathscr{A}^*\mathscr{A}u=0$，但注意 $x \in \ker\mathscr{A}$ 即 $\mathscr{A}x=0$，而 $x=\mathscr{A}u$，故 $\mathscr{A}^2 u=0$。考虑内积 $(\mathscr{A}^*\mathscr{A}u,u) = \|\mathscr{A}u\|^2$，因为 $(\mathscr{A}^*\mathscr{A}u,u)=(\mathscr{A}u,\mathscr{A}u)=\|\mathscr{A}u\|^2$。由 $(\mathscr{A}u,\mathscr{B}u)=0$ 得 $\|\mathscr{A}u\|^2=0$，故 $\mathscr{A}u=0$，即 $x=0$。因此交为零。
公式：$\|\mathscr{A}u\|^2 = (\mathscr{A}u,\mathscr{A}u) = (\mathscr{A}^*\mathscr{A}u,u)$
提示：注意 $\mathscr{A}^2 u=0$ 与 $\mathscr{A}^*\mathscr{A}u=0$ 不同，需利用内积性质。
步骤 7/7
目标：证明维数之和为n
由于 $\mathscr{B} = -\mathscr{A}^*$，$\mathscr{B}$ 与 $\mathscr{A}^*$ 有相同的秩，故 $\dim\mathscr{B}V = \dim\mathscr{A}^*V = \dim\mathscr{A}V$（因为 $\mathscr{A}$ 与 $\mathscr{A}^*$ 秩相等）。于是 $\dim(\mathscr{B}V)^\perp = n - \dim\mathscr{B}V = n - \dim\mathscr{A}V$。因此 $\dim\mathscr{A}V + \dim(\mathscr{B}V)^\perp = \dim\mathscr{A}V + (n - \dim\mathscr{A}V) = n$。结合交为零，得 $V = \mathscr{A}V \oplus (\mathscr{B}V)^\perp$。
公式：$\dim\mathscr{A}V + \dim(\mathscr{B}V)^\perp = n$
提示：注意 $\dim\mathscr{A}^*V = \dim\mathscr{A}V$ 是因为 $\mathscr{A}$ 与 $\mathscr{A}^*$ 的矩阵互为转置，秩相同。
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