安徽师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
九、 $\displaystyle \left(7+8=15\right.$ 分）已知 $\displaystyle W=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}a & b \\ -b & a\end{array}\right) \right\rvert\, a, b \in \mathbb{R}\right\}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的实矩阵。
（1）证明：$W$ 为实矩阵集 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 的子空间．
（2）求 $W$ 的一组基，并扩充为 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 的一组基，求 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}x & y \\ y & z\end{array}\right)$ 在该基下的矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明W是子空间
首先，验证$W$非空：零矩阵$\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$属于$W$（取$a=0,b=0$）。其次，对任意$A=\begin{pmatrix}a_1&b_1\\-b_1&a_1\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}a_2&b_2\\-b_2&a_2\end{pmatrix}\in W$，有$A+B=\begin{pmatrix}a_1+a_2&b_1+b_2\\-(b_1+b_2)&a_1+a_2\end{pmatrix}\in W$；对任意$k\in\mathbb{R}$，有$kA=\begin{pmatrix}ka_1&kb_1\\-kb_1&ka_1\end{pmatrix}\in W$。因此$W$对加法和数乘封闭，故$W$是$\mathbb{R}^{2\times2}$的子空间。
提示：注意验证封闭性时，要明确写出矩阵形式并说明结果仍属于W。
步骤 2/6
目标：求W的一组基
$W$中任意矩阵可表示为$a\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$，且$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$与$\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$线性无关（若线性组合为零矩阵，则$a=b=0$），故它们构成$W$的一组基。
提示：基的选取不唯一，但必须线性无关且能生成W。
步骤 3/6
目标：将W的基扩充为R^{2×2}的基
$\mathbb{R}^{2\times2}$的维数为4，标准基为$E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}, E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}, E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}, E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$。取$W$的基$\alpha_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, \alpha_2=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$，再添加$\alpha_3=E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}, \alpha_4=E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$，则$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$线性无关（因为$\alpha_1,\alpha_2$线性无关且与$\alpha_3,\alpha_4$无关），构成$\mathbb{R}^{2\times2}$的一组基。
提示：扩充时需确保添加的向量与原有基线性无关，且总数达到维数4。
步骤 4/6
目标：求给定矩阵在基下的坐标
设$M=\begin{pmatrix}x&y\\y&z\end{pmatrix}$，在基$\beta_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, \beta_2=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}, \beta_3=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}, \beta_4=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$下表示为$M=c_1\beta_1+c_2\beta_2+c_3\beta_3+c_4\beta_4$。计算得：$\begin{pmatrix}x&y\\y&z\end{pmatrix}=c_1\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}+c_3\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}+c_4\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c_1+c_3 & c_2 \\ -c_2+c_4 & c_1\end{pmatrix}$。
提示：注意矩阵乘法与加法，确保对应位置元素相等。
步骤 5/6
目标：解方程组求坐标分量
比较矩阵元素得方程组：$c_1+c_3=x$，$c_2=y$，$-c_2+c_4=y$，$c_1=z$。解得：$c_1=z$，$c_2=y$，$c_3=x-c_1=x-z$，$c_4=y+c_2=2y$。因此坐标向量为$(c_1,c_2,c_3,c_4)^T=(z, y, x-z, 2y)^T$。
提示：解方程组时注意符号，特别是$-c_2+c_4=y$中$c_2=y$代入得$c_4=2y$。
步骤 6/6
目标：写出最终答案
（1）$W$是$\mathbb{R}^{2\times2}$的子空间。（2）$W$的一组基为$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$；扩充为$\mathbb{R}^{2\times2}$的一组基为$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$；$\begin{pmatrix}x&y\\y&z\end{pmatrix}$在该基下的矩阵为$\begin{pmatrix}z\\y\\x-z\\2y\end{pmatrix}$。
提示：最终答案要清晰完整，注意坐标是列向量。
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