安徽师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
三、（15 分）设向量 $\displaystyle \beta$ 可由向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性表出，证明：若 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ ， $\displaystyle \cdots, \mathbf{\alpha}_{r}$ 线性无关，则表示法是唯一的，反过来也正确。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：正向证明：假设线性无关，证明表示法唯一
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r$ 线性无关，且 $\beta$ 可由它们线性表出，即存在一组数 $k_1, k_2, \dots, k_r$ 使得 $\beta = k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \cdots + k_r \alpha_r$。
提示：注意线性表出的定义：存在一组系数使得等式成立。
步骤 2/8
目标：假设另一种表示，并作差
假设还有另一组数 $l_1, l_2, \dots, l_r$ 使得 $\beta = l_1 \alpha_1 + l_2 \alpha_2 + \cdots + l_r \alpha_r$。两式相减得 $0 = (k_1 - l_1) \alpha_1 + (k_2 - l_2) \alpha_2 + \cdots + (k_r - l_r) \alpha_r$。
提示：相减时注意系数对应相减。
步骤 3/8
目标：利用线性无关性推出系数全为零
由于 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r$ 线性无关，所以系数全为零，即 $k_i - l_i = 0$ 对 $i=1,2,\dots,r$，因此 $k_i = l_i$。故表示法唯一。
公式：线性无关的定义：若 $c_1 \alpha_1 + \cdots + c_r \alpha_r = 0$，则 $c_1 = \cdots = c_r = 0$。
提示：线性无关是系数全为零的充分必要条件。
步骤 4/8
目标：反向证明：假设表示法唯一，证明线性无关
假设 $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r$ 线性表出且表示法唯一。要证 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r$ 线性无关。
提示：反证法：假设线性相关，推出矛盾。
步骤 5/8
目标：假设线性相关，构造零向量
假设 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r$ 线性相关，则存在不全为零的数 $c_1, c_2, \dots, c_r$ 使得 $c_1 \alpha_1 + c_2 \alpha_2 + \cdots + c_r \alpha_r = 0$。
公式：线性相关的定义：存在不全为零的系数使得线性组合为零。
提示：注意不全为零的条件。
步骤 6/8
目标：利用已知表示构造另一种表示
设 $\beta = k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \cdots + k_r \alpha_r$ 是 $\beta$ 的一种表示。则对任意实数 $t$，有 $\beta = (k_1 + t c_1) \alpha_1 + (k_2 + t c_2) \alpha_2 + \cdots + (k_r + t c_r) \alpha_r$。
提示：注意 $t$ 可以取任意非零实数，从而得到不同的表示。
步骤 7/8
目标：推出矛盾，完成证明
由于 $c_1, c_2, \dots, c_r$ 不全为零，当 $t \neq 0$ 时，这给出了 $\beta$ 的另一种表示，与表示法唯一矛盾。因此 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r$ 线性无关。
提示：矛盾点：表示法唯一与存在另一种表示矛盾。
步骤 8/8
目标：总结结论
综上，向量 $\beta$ 可由线性无关的向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r$ 线性表出时，表示法唯一；反之，若表示法唯一，则向量组线性无关。
提示：注意正反两个方向都要证明。
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