安徽师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
四、 $\displaystyle (8+7=15$ 分）若 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶矩阵，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵。
（1）若 $B$ 为可逆矩阵，$\displaystyle E-A B$ 也可逆，证明：$\displaystyle A-B^{-1}$ 可逆．
（2）若 $\displaystyle A B-B A=A$ ，证明：$A$ 不可逆．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：构造乘积矩阵
考虑矩阵乘积 $(A - B^{-1})B$，计算得 $(A - B^{-1})B = AB - E$。
公式：$(A - B^{-1})B = AB - E$
提示：注意矩阵乘法顺序，右乘B。
步骤 2/7
目标：联系已知条件
由已知 $E - AB$ 可逆，则 $AB - E = -(E - AB)$ 也可逆，因为可逆矩阵乘以非零标量仍可逆。
公式：$AB - E = -(E - AB)$
提示：注意负号不改变可逆性。
步骤 3/7
目标：利用可逆矩阵乘积性质
由于 $(A - B^{-1})B$ 可逆，且 $B$ 可逆，根据可逆矩阵乘积的性质，若 $C D$ 可逆且 $D$ 可逆，则 $C$ 可逆。因此 $A - B^{-1}$ 可逆。
公式：若 $C D$ 可逆且 $D$ 可逆，则 $C$ 可逆
提示：注意乘积可逆时，每个因子不一定可逆，但这里已知一个因子可逆。
步骤 4/7
目标：整理第一问证明
综上，由 $B$ 可逆和 $E-AB$ 可逆推出 $A-B^{-1}$ 可逆。
步骤 5/7
目标：第二问：变形已知等式
已知 $AB - BA = A$，移项得 $AB = BA + A = A(B + E)$。
公式：$AB = A(B + E)$
提示：注意矩阵乘法不交换，但这里右提公因子A。
步骤 6/7
目标：反证法假设
假设 $A$ 可逆，则存在 $A^{-1}$。在等式 $AB = A(B+E)$ 两边左乘 $A^{-1}$，得 $B = B + E$。
公式：$A^{-1}AB = A^{-1}A(B+E) \Rightarrow B = B+E$
提示：左乘时注意顺序，$A^{-1}A = E$。
步骤 7/7
目标：导出矛盾
由 $B = B + E$ 得 $E = 0$，这与单位矩阵非零矛盾。因此假设不成立，$A$ 不可逆。
公式：$E = 0$ 矛盾
提示：单位矩阵不等于零矩阵。
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