安徽师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
二、（15 分）求 $D$ 按第一行展开的代数余子式之和 $\displaystyle \sum_{k=1}^{2025} A_{1, k}$ ，其中
$$
D=\left|\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & \cdots & 0 & 2025 \\
0 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 2024 & 0 \\
2025 & 0 & \cdots & 0 & 2025
\end{array}\right|
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析矩阵结构
矩阵 $D$ 是 $2025 \times 2025$ 的方阵，其元素为：主对角线上，第 $i$ 行第 $i$ 列元素为 $i$（$i=1,\dots,2024$），最后一行最后一列为 $2025$；第一行最后一列为 $2025$，最后一行第一列为 $2025$；其余元素为 $0$。因此第一行只有两个非零元素：$a_{11}=1$ 和 $a_{1,2025}=2025$。
提示：注意矩阵的维数，以及非零元素的位置。
步骤 2/6
目标：确定非零代数余子式
代数余子式 $A_{1,k}=(-1)^{1+k}M_{1,k}$，其中 $M_{1,k}$ 是去掉第1行和第k列后的子式。由于第一行除 $k=1$ 和 $k=2025$ 外均为0，故 $A_{1,k}=0$ 对于 $k=2,\dots,2024$。只需计算 $A_{1,1}$ 和 $A_{1,2025}$。
公式：$A_{1,k}=(-1)^{1+k}M_{1,k}$
提示：注意代数余子式与余子式的关系，符号由行和列索引决定。
步骤 3/6
目标：计算 $A_{1,1}$
去掉第1行和第1列，得到 $2024 \times 2024$ 矩阵：
$$
\begin{vmatrix}
2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 3 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 2024 & 0 \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 2025
\end{vmatrix}
$$
这是一个对角矩阵，对角元为 $2,3,\dots,2024,2025$，所以行列式为 $2\cdot3\cdots2024\cdot2025=2025!$。因此 $M_{1,1}=2025!$，$A_{1,1}=(-1)^{1+1}M_{1,1}=2025!$。
公式：对角矩阵的行列式等于对角元的乘积
提示：注意符号：$(-1)^{1+1}=1$。
步骤 4/6
目标：计算 $A_{1,2025}$ 的余子式 $M_{1,2025}$
去掉第1行和第2025列，得到 $2024 \times 2024$ 矩阵：
$$
\begin{vmatrix}
0 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 3 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 2024 \\
2025 & 0 & 0 & \cdots & 0
\end{vmatrix}
$$
按第一列展开：只有最后一行有非零元 $2025$，其位置是 $(2024,1)$，代数余子式为 $(-1)^{2024+1}=-1$ 乘以去掉第2024行和第1列后的子式。去掉后得到 $2023 \times 2023$ 对角矩阵，对角元 $2,3,\dots,2024$，行列式为 $2024!$。所以 $M_{1,2025}=2025\cdot(-1)\cdot2024!=-2025!$。
公式：按列展开公式：$\det(A)=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}$
提示：注意展开时符号和子式的维数变化。
步骤 5/6
目标：计算 $A_{1,2025}$
$A_{1,2025}=(-1)^{1+2025}M_{1,2025}=(-1)^{2026}\cdot(-2025!)=1\cdot(-2025!)=-2025!$。
公式：$A_{1,k}=(-1)^{1+k}M_{1,k}$
提示：注意 $(-1)^{2026}=1$，因为2026是偶数。
步骤 6/6
目标：求和
$$\sum_{k=1}^{2025} A_{1,k}=A_{1,1}+A_{1,2025}=2025!+(-2025!)=0$$
提示：注意只有两个非零项，直接相加即可。
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