山东大学 2022年高等代数第0题

设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$（$m \geq 2$）中 $\alpha_m \neq 0$。对任意 $k_1, k_2, \cdots, k_{m-1}$，构造向量组 $\beta_i = \alpha_i + k_i \alpha_m$（$i=1,\cdots,m-1$）。需要证明：$\beta_1,\cdots,\beta_{m-1}$ 线性无关当且仅当 $\alpha_1,\cdots,\alpha_m$ 线性无关。

采用反证法。假设 $\alpha_1,\cdots,\alpha_m$ 线性相关，则存在不全为零的数 $c_1,\cdots,c_m$ 使得 $\sum_{i=1}^m c_i \alpha_i = 0$。由于 $\alpha_m \neq 0$，分两种情况讨论：若 $c_m = 0$，则 $\alpha_1,\cdots,\alpha_{m-1}$ 线性相关，从而 $\beta_1,\cdots,\beta_{m-1}$ 也线性相关（因为 $\beta_i$ 是 $\alpha_i$ 与 $\alpha_m$ 的线性组合，且 $\alpha_m$ 系数可调），矛盾。若 $c_m \neq 0$，则 $\alpha_m = -\sum_{i=1}^{m-1} \frac{c_i}{c_m} \alpha_i$。考虑线性组合 $\sum_{i=1}^{m-1} c_i \beta_i = \sum_{i=1}^{m-1} c_i (\alpha_i + k_i \alpha_m) = \sum_{i=1}^{m-1} c_i \alpha_i + (\sum_{i=1}^{m-1} c_i k_i) \alpha_m$。将 $\alpha_m$ 代入得 $\sum_{i=1}^{m-1} c_i \beta_i = \sum_{i=1}^{m-1} c_i \alpha_i - (\sum_{i=1}^{m-1} c_i k_i) \sum_{j=1}^{m-1} \frac{c_j}{c_m} \alpha_j$，这是 $\alpha_1,\cdots,\alpha_{m-1}$ 的线性组合，且系数不全为零（因为 $c_1,\cdots,c_{m-1}$ 不全为零），故 $\beta_1,\cdots,\beta_{m-1}$ 线性相关，矛盾。因此 $\alpha_1,\cdots,\alpha_m$ 线性无关。

设 $\sum_{i=1}^{m-1} \lambda_i \beta_i = 0$，即 $\sum_{i=1}^{m-1} \lambda_i (\alpha_i + k_i \alpha_m) = \sum_{i=1}^{m-1} \lambda_i \alpha_i + (\sum_{i=1}^{m-1} \lambda_i k_i) \alpha_m = 0$。由于 $\alpha_1,\cdots,\alpha_m$ 线性无关，故系数全为零：$\lambda_1 = \cdots = \lambda_{m-1} = 0$ 且 $\sum_{i=1}^{m-1} \lambda_i k_i = 0$。由 $\lambda_i=0$ 知该和自然为0。因此 $\beta_1,\cdots,\beta_{m-1}$ 线性无关。

由必要性（$\beta$ 线性无关 $\Rightarrow$ $\alpha$ 线性无关）和充分性（$\alpha$ 线性无关 $\Rightarrow$ $\beta$ 线性无关），得证：$\beta_1,\cdots,\beta_{m-1}$ 线性无关的充要条件是 $\alpha_1,\cdots,\alpha_m$ 线性无关。