📝 山东大学 2022年高等代数真题

1．设向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}(m \geq 2)$ 中 $\alpha_{m} \neq 0$ ，证明：对任意 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m-1}$ ，向量组

$$
\beta_{1}=\alpha_{1}+k_{1} \alpha_{m}, \beta_{2}=\alpha_{2}+k_{2} \alpha_{m}, \cdots, \beta_{m-1}=\alpha_{m-1}+k_{m-1} \alpha_{m}
$$

线性无关的充要条件是 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关．

2．设 $\left\{\begin{array}{l}\alpha_{1}=(1,2,1,0) \\ \alpha_{2}=(-1,1,, 1,1)\end{array}\right.$ 和 $\left\{\begin{array}{l}\beta_{1}=(2,-1,0,1) \\ \beta_{2}=(1,-1,3,7)\end{array}\right.$ ，求向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 生成的子空间与向量组 $\beta_{1}, \beta_{2}$生成的子空间的交的基与维数．

3．设向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是数域 $K$ 上线性空间 $V$ 的一组基，$\sigma$ 是 $V$ 的一个线性变换，且

$$
\sigma\left(\alpha_{1}\right)=\alpha_{1}, \alpha\left(\alpha_{2}\right)=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \sigma\left(\alpha_{3}\right)=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}
$$

（1）证明：$\sigma$ 是 $V$ 上的可逆线性变换；
（2）求 $2 \sigma-\sigma^{-1}$ 在基底 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵。

4．设 $A \in M_{n}(K), \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是 $A$ 的特征多项式 $f(\lambda)$ 在复数域上的所有根，证明：

$$
\operatorname{tr}(A)=\lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n},|A|=\lambda_{1} \lambda_{2} \cdots \lambda_{n}
$$

5．已知两个向量组的秩相同，且其中一个可以被另一个线性表出，试证明这两个向量组等价．

6．已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$ 满足 $A B+E=A^{2}+B$ ，求矩阵 $B$ ．

7．设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5\end{array}\right)$ ，利用初等变换法求可逆矩阵 $C$ 和对角矩阵 $D$ ，使得 $C^{T} A C=D$ ．

8．设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $n$ 阶方阵，且 $r(A)=n$ ．证明：
（1）若 $A B=O$ ，则 $B=O$ ；
（2）若 $A B=A$ ，则 $B=E$ ．

9．设 $A(\lambda)$ 是 $n$ 阶 $\lambda$ —矩阵，证明：$A(\lambda)^{T}$ 与 $A(\lambda)$ 等价．

1．求解微分方程 $y=x\left(y^{\prime}+\sqrt{1+\left(y^{\prime}\right)^{2}}\right)$ ．

2．设二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+\alpha y^{\prime}+\beta y=\gamma e^{x}$ 的一个特解为 $y=e^{2 x}+(1+x) e^{x}$ ，试确定 $\alpha, \beta, \gamma$的值，并求解该方程．

3．求 $X^{\prime}=A X$ 的基本解组，其中 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1\end{array}\right)$ ．

4．解方程 $y=(x+1) y^{\prime}+\left(y^{\prime}\right)^{2}$ ．

5．已知在矩形区域 $D=\left\{(x, y)| | x-1|\leq 2,|y| \leq 1\}\right.$ 上 $f(x, y)=x^{2}+2 y$ ，求初值问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
y^{\prime}=f(x, y) \\
y(0)=1
\end{array}\right.
$$

解的存在区间及在此区间上的二次近似解和误差估计．