山东大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
3．求 $X^{\prime}=A X$ 的基本解组，其中 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1\end{array}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求特征值
解特征方程 \(\det(A - \lambda I) = 0\)。
\(A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & -2 & 1 \\ 0 & -1-\lambda & 1 \\ 2 & 1 & 1-\lambda \end{pmatrix}\)
计算行列式：
\[
\begin{aligned}
\det(A - \lambda I) &= (1-\lambda)[(-1-\lambda)(1-\lambda) - 1] - (-2)[0\cdot(1-\lambda) - 2] + 1[0\cdot1 - 2(-1-\lambda)] \\
&= (1-\lambda)[(-1-\lambda)(1-\lambda) - 1] + 2[-2] + [2(1+\lambda)] \\
&= (1-\lambda)[- (1+\lambda)(1-\lambda) - 1] -4 + 2 + 2\lambda \\
&= (1-\lambda)[- (1-\lambda^2) - 1] -2 + 2\lambda \\
&= (1-\lambda)[-1 + \lambda^2 - 1] -2 + 2\lambda = (1-\lambda)(\lambda^2 - 2) -2 + 2\lambda \\
&= (1-\lambda)(\lambda^2 - 2) + 2(\lambda - 1) = (1-\lambda)(\lambda^2 - 2 - 2) = (1-\lambda)(\lambda^2 - 4) \\
&= (1-\lambda)(\lambda - 2)(\lambda + 2)
\end{aligned}
\]
特征值：\(\lambda_1 = 1\), \(\lambda_2 = 2\), \(\lambda_3 = -2\)。
公式：\det(A - \lambda I) = 0
提示：计算行列式时注意符号和代数运算，避免展开错误。
步骤 2/5
目标：求特征向量（λ=1）
对于 \(\lambda = 1\)，解 \((A - I)v = 0\)。
\(A - I = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}\)
行化简：
\[
\begin{pmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}
\]
得方程组：
\[
-2v_2 + v_3 = 0, \quad 2v_1 + v_2 = 0
\]
取 \(v_2 = 2\)，则 \(v_3 = 4\)，\(v_1 = -1\)。特征向量 \(v_1 = (-1, 2, 4)^T\)。
公式：(A - \lambda I)v = 0
提示：行化简时注意矩阵的秩，自由变量的选取要合理。
步骤 3/5
目标：求特征向量（λ=2）
对于 \(\lambda = 2\)，解 \((A - 2I)v = 0\)。
\(A - 2I = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 1 \\ 0 & -3 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}\)
行化简：
\[
\begin{pmatrix} -1 & -2 & 1 \\ 0 & -3 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -1 & -2 & 1 \\ 0 & -3 & 1 \\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -1 & -2 & 1 \\ 0 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\]
得方程组：
\[
-v_1 - 2v_2 + v_3 = 0, \quad -3v_2 + v_3 = 0
\]
取 \(v_2 = 1\)，则 \(v_3 = 3\)，\(v_1 = 1\)。特征向量 \(v_2 = (1, 1, 3)^T\)。
公式：(A - \lambda I)v = 0
提示：行化简时注意行变换的正确性，避免消元错误。
步骤 4/5
目标：求特征向量（λ=-2）
对于 \(\lambda = -2\)，解 \((A + 2I)v = 0\)。
\(A + 2I = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}\)
行化简：
\[
\begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & \frac{7}{3} & \frac{7}{3} \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\]
得方程组：
\[
3v_1 - 2v_2 + v_3 = 0, \quad v_2 + v_3 = 0
\]
取 \(v_3 = 1\)，则 \(v_2 = -1\)，\(v_1 = -1\)。特征向量 \(v_3 = (-1, -1, 1)^T\)。
公式：(A - \lambda I)v = 0
提示：注意分数运算，避免计算错误。
步骤 5/5
目标：写出基本解组
根据特征值和特征向量，得到基本解组：
\[
X_1(t) = e^{\lambda_1 t} v_1 = e^{t} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}, \quad X_2(t) = e^{\lambda_2 t} v_2 = e^{2t} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad X_3(t) = e^{\lambda_3 t} v_3 = e^{-2t} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}
\]
公式：X(t) = e^{\lambda t} v
提示：注意特征值与特征向量的对应关系，不要混淆。
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