山东大学 2022年高等代数第0题

设向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$ 的秩为 $r$，取它的一个极大线性无关组 $\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\dots,\alpha_{i_r}$。同样，设向量组 $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_t$ 的秩也为 $r$，取它的一个极大线性无关组 $\beta_{j_1},\beta_{j_2},\dots,\beta_{j_r}$。

已知 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$ 可由 $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_t$ 线性表出。由于 $\beta_{j_1},\beta_{j_2},\dots,\beta_{j_r}$ 是 $\beta$ 组的极大无关组，$\beta$ 组中每个向量都可由它线性表出，因此 $\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\dots,\alpha_{i_r}$ 也可由 $\beta_{j_1},\beta_{j_2},\dots,\beta_{j_r}$ 线性表出。

考虑向量组 $\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\dots,\alpha_{i_r}, \beta_{j_1},\beta_{j_2},\dots,\beta_{j_r}$。由于 $\alpha$ 组可由 $\beta$ 组线性表出，而 $\beta$ 组的秩为 $r$，所以整个向量组的秩不超过 $r$。又因为该向量组包含 $\alpha$ 的极大无关组（秩为 $r$），所以整个向量组的秩至少为 $r$。因此，该向量组的秩恰好为 $r$。

由于整个向量组的秩为 $r$，而 $\beta_{j_1},\beta_{j_2},\dots,\beta_{j_r}$ 是 $r$ 个线性无关的向量，因此它们也是整个向量组的极大线性无关组。从而，$\beta_{j_1},\beta_{j_2},\dots,\beta_{j_r}$ 可由 $\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\dots,\alpha_{i_r}$ 线性表出（因为极大无关组之间可以互相线性表出）。

由于 $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_t$ 可由其极大无关组 $\beta_{j_1},\beta_{j_2},\dots,\beta_{j_r}$ 线性表出，而 $\beta_{j_1},\beta_{j_2},\dots,\beta_{j_r}$ 又可由 $\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\dots,\alpha_{i_r}$ 线性表出，因此 $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_t$ 可由 $\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\dots,\alpha_{i_r}$ 线性表出。又因为 $\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\dots,\alpha_{i_r}$ 是 $\alpha$ 组的子集，所以 $\beta$ 组可由 $\alpha$ 组线性表出。

由已知，$\alpha$ 组可由 $\beta$ 组线性表出；由证明，$\beta$ 组也可由 $\alpha$ 组线性表出。因此，两个向量组等价。