山东大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
2．设 $\left\{\begin{array}{l}\alpha_{1}=(1,2,1,0) \\ \alpha_{2}=(-1,1,, 1,1)\end{array}\right.$ 和 $\left\{\begin{array}{l}\beta_{1}=(2,-1,0,1) \\ \beta_{2}=(1,-1,3,7)\end{array}\right.$ ，求向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 生成的子空间与向量组 $\beta_{1}, \beta_{2}$生成的子空间的交的基与维数．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设出交空间中的向量
设 $V_1 = \operatorname{span}\{\alpha_1, \alpha_2\}$, $V_2 = \operatorname{span}\{\beta_1, \beta_2\}$。对于任意 $\xi \in V_1 \cap V_2$，存在数 $x_1, x_2, y_1, y_2$ 使得
$$
\xi = x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 = y_1 \beta_1 + y_2 \beta_2.
$$
提示：注意交空间中的向量可以同时用两组基线性表示。
步骤 2/7
目标：移项得到齐次线性方程组
将等式移项得
$$
x_1(1,2,1,0) + x_2(-1,1,1,1) - y_1(2,-1,0,1) - y_2(1,-1,3,7) = 0.
$$
写成向量形式，得到关于 $x_1, x_2, y_1, y_2$ 的齐次线性方程组。
提示：移项时注意符号，不要漏掉负号。
步骤 3/7
目标：写出系数矩阵
系数矩阵为
$$
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -2 & -1 \\
2 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & -3 \\
0 & 1 & -1 & -7
\end{pmatrix}.
$$
提示：矩阵的列对应未知数 $x_1, x_2, y_1, y_2$，行对应向量分量。
步骤 4/7
目标：行变换化简矩阵
对矩阵进行行变换：
$$
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -2 & -1 \\
2 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & -3 \\
0 & 1 & -1 & -7
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_2-2R_1, R_3-R_1}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -2 & -1 \\
0 & 3 & 5 & 3 \\
0 & 2 & 2 & -2 \\
0 & 1 & -1 & -7
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_2 \leftrightarrow R_4}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -2 & -1 \\
0 & 1 & -1 & -7 \\
0 & 2 & 2 & -2 \\
0 & 3 & 5 & 3
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_3-2R_2, R_4-3R_2}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -2 & -1 \\
0 & 1 & -1 & -7 \\
0 & 0 & 4 & 12 \\
0 & 0 & 8 & 24
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_4-2R_3, \frac{1}{4}R_3}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -2 & -1 \\
0 & 1 & -1 & -7 \\
0 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
$$
提示：行变换要仔细，避免计算错误。
步骤 5/7
目标：求解齐次线性方程组
由行最简形矩阵得方程组：
$$
\begin{cases}
x_1 - x_2 - 2y_1 - y_2 = 0 \\
x_2 - y_1 - 7y_2 = 0 \\
y_1 + 3y_2 = 0
\end{cases}
$$
取 $y_2$ 为自由变量，令 $y_2 = 1$，则 $y_1 = -3$，$x_2 = y_1 + 7y_2 = -3 + 7 = 4$，$x_1 = x_2 + 2y_1 + y_2 = 4 - 6 + 1 = -1$。
提示：自由变量可以任意取值，通常取1以简化计算。
步骤 6/7
目标：得到交空间中的向量
代入得
$$
\xi = x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 = -\alpha_1 + 4\alpha_2 = -(1,2,1,0) + 4(-1,1,1,1) = (-5,2,3,4).
$$
或
$$
\xi = y_1 \beta_1 + y_2 \beta_2 = -3\beta_1 + \beta_2 = -3(2,-1,0,1) + (1,-1,3,7) = (-5,2,3,4).
$$
提示：两种方式计算结果应一致，可互相验证。
步骤 7/7
目标：确定交空间的基与维数
由于方程组的基础解系只有一个向量，因此 $V_1 \cap V_2$ 的维数为1，基为 $\{(-5,2,3,4)\}$。
提示：维数等于自由变量的个数，即基础解系中向量的个数。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。