山东大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
8．设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $n$ 阶方阵，且 $r(A)=n$ ．证明：
（1）若 $A B=O$ ，则 $B=O$ ；
（2）若 $A B=A$ ，则 $B=E$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析已知条件
已知 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $n$ 阶方阵，且 $r(A)=n$，$AB=O$。由 $r(A)=n$ 可知 $A$ 的列向量线性无关，且 $m \geq n$。
公式：r(A)=n
提示：注意 $r(A)=n$ 意味着 $A$ 的列满秩，但 $A$ 不一定可逆（除非 $m=n$）。
步骤 2/7
目标：转化为齐次线性方程组
由 $AB=O$ 知，对 $B$ 的每一列 $B_{*j}$（$j=1,\dots,n$），有 $A B_{*j}=0$。即 $B_{*j}$ 是齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解。
公式：A B_{*j}=0
提示：注意 $AB=O$ 意味着 $A$ 乘以 $B$ 的每一列得到零向量。
步骤 3/7
目标：利用列满秩性质
由于 $r(A)=n$，齐次线性方程组 $Ax=0$ 只有零解（因为未知数个数为 $n$，系数矩阵秩为 $n$，解空间维数为 $0$）。因此 $B_{*j}=0$ 对每个 $j$ 成立。
公式：Ax=0 只有零解
提示：注意 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，未知数个数为 $n$，$r(A)=n$ 意味着 $n \leq m$，且解唯一。
步骤 4/7
目标：得出结论
所有列向量均为零向量，故 $B=O$。
步骤 5/7
目标：分析第二问条件
已知 $AB=A$，移项得 $A(B-E)=O$，其中 $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵。
公式：A(B-E)=O
提示：注意 $AB=A$ 等价于 $AB - A = O$，即 $A(B-E)=O$。
步骤 6/7
目标：应用第一问结论
由第一问结论，若 $r(A)=n$ 且 $A(B-E)=O$，则 $B-E=O$。
提示：第一问的结论适用于任何 $n$ 阶方阵 $C$ 满足 $AC=O$，这里 $C=B-E$。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此 $B=E$。
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