山东大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
1．求解微分方程 $y=x\left(y^{\prime}+\sqrt{1+\left(y^{\prime}\right)^{2}}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别方程类型并引入参数
观察方程 $y = x\left(y' + \sqrt{1+(y')^2}\right)$，它形如 $y = x f(y') + g(y')$，其中 $f(y') = y' + \sqrt{1+(y')^2}$，$g(y') = 0$，因此是克莱罗方程。令 $p = y'$，则方程化为 $y = x\left(p + \sqrt{1+p^2}\right)$。
公式：克莱罗方程的一般形式：$y = x p + f(p)$
提示：注意克莱罗方程的特征：$y$ 关于 $x$ 和 $p$ 是线性的，且 $p$ 的系数为 $x$。
步骤 2/6
目标：对原方程两边求导
将 $y = x(p + \sqrt{1+p^2})$ 两边对 $x$ 求导，注意 $p$ 是 $x$ 的函数。左边导数为 $y' = p$，右边导数为 $p + \sqrt{1+p^2} + x\left(p' + \frac{p p'}{\sqrt{1+p^2}}\right)$。于是得到 $p = p + \sqrt{1+p^2} + x\left(1 + \frac{p}{\sqrt{1+p^2}}\right)p'$。
公式：求导法则：$(\sqrt{1+p^2})' = \frac{p p'}{\sqrt{1+p^2}}$
提示：注意 $p$ 是 $x$ 的函数，求导时不要漏掉 $p'$ 项。
步骤 3/6
目标：化简求导结果
将上一步的等式两边消去 $p$，得到 $0 = \sqrt{1+p^2} + x\left(1 + \frac{p}{\sqrt{1+p^2}}\right)p'$。整理得 $x\left(1 + \frac{p}{\sqrt{1+p^2}}\right)p' = -\sqrt{1+p^2}$。实际上，更常见的处理是：由 $p = p + x\left(1 + \frac{p}{\sqrt{1+p^2}}\right)p'$ 直接得到 $x\left(1 + \frac{p}{\sqrt{1+p^2}}\right)p' = 0$。注意这里原答案中写的是 $p = p + x\left(1 + \frac{p}{\sqrt{1+p^2}}\right)p'$，整理得 $x\left(1 + \frac{p}{\sqrt{1+p^2}}\right)p' = 0$。
提示：化简时注意移项，不要混淆符号。
步骤 4/6
目标：讨论第一种情况：$p' = 0$
由 $x\left(1 + \frac{p}{\sqrt{1+p^2}}\right)p' = 0$，第一种可能是 $p' = 0$，即 $p = C$（常数）。代入原方程 $y = x\left(p + \sqrt{1+p^2}\right)$ 得通解 $y = x\left(C + \sqrt{1+C^2}\right)$，其中 $C$ 为任意常数。
提示：常数 $C$ 可以取任意实数，但注意 $\sqrt{1+C^2} \ge 0$。
步骤 5/6
目标：讨论第二种情况：$1 + \frac{p}{\sqrt{1+p^2}} = 0$
第二种可能是 $1 + \frac{p}{\sqrt{1+p^2}} = 0$，即 $\sqrt{1+p^2} = -p$。两边平方得 $1+p^2 = p^2$，即 $1=0$，矛盾。因此这种情况无解，不存在奇解。
提示：平方可能引入增根，但这里直接导致矛盾，故无解。注意 $\sqrt{1+p^2} = -p$ 要求 $p \le 0$，但平方后矛盾，所以无解。
步骤 6/6
目标：总结通解
因此，原方程的通解为 $y = x\left(C + \sqrt{1+C^2}\right)$，其中 $C$ 为任意常数。注意，该通解是一族直线。
提示：克莱罗方程的通解通常是一族直线，而奇解是包络线，但这里无奇解。
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