山东大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
2．设二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+\alpha y^{\prime}+\beta y=\gamma e^{x}$ 的一个特解为 $y=e^{2 x}+(1+x) e^{x}$ ，试确定 $\alpha, \beta, \gamma$的值，并求解该方程．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：求已知特解的导数
已知特解 $y = e^{2x} + (1+x)e^x$，求一阶导数：$y' = 2e^{2x} + e^x + (1+x)e^x = 2e^{2x} + (2+x)e^x$；二阶导数：$y'' = 4e^{2x} + e^x + (2+x)e^x = 4e^{2x} + (3+x)e^x$。
公式：$(e^{ax})' = ae^{ax}$，$(x e^x)' = e^x + x e^x$
提示：注意 $(1+x)e^x$ 的导数需用乘法法则，不要漏项。
步骤 2/7
目标：代入原方程并整理
将 $y, y', y''$ 代入 $y'' + \alpha y' + \beta y = \gamma e^x$，得：$[4e^{2x} + (3+x)e^x] + \alpha[2e^{2x} + (2+x)e^x] + \beta[e^{2x} + (1+x)e^x] = \gamma e^x$。合并同类项：$e^{2x}$ 系数为 $4 + 2\alpha + \beta$；$e^x$ 系数为 $[(3+x) + \alpha(2+x) + \beta(1+x)] = (3+2\alpha+\beta) + (1+\alpha+\beta)x$。
提示：合并时注意将 $e^{2x}$ 和 $e^x$ 分别整理，$e^x$ 项中 $x$ 的系数要单独提取。
步骤 3/7
目标：建立方程组求解参数
由于右边只有 $\gamma e^x$，左边 $e^{2x}$ 系数必须为0，$e^x$ 项中 $x$ 系数为0，常数项等于 $\gamma$。得方程组：
\begin{cases}
4 + 2\alpha + \beta = 0 \\
1 + \alpha + \beta = 0 \\
3 + 2\alpha + \beta = \gamma
\end{cases}
解前两式：由第二式得 $\beta = -1 - \alpha$，代入第一式：$4 + 2\alpha -1 - \alpha = 0 \Rightarrow \alpha = -3$，则 $\beta = 2$。代入第三式：$\gamma = 3 + 2(-3) + 2 = -1$。
提示：注意方程组中第三个方程是常数项相等，不要遗漏。解方程时注意符号。
步骤 4/7
目标：写出原方程并求齐次通解
原方程为 $y'' - 3y' + 2y = -e^x$。对应齐次方程 $y'' - 3y' + 2y = 0$ 的特征方程为 $r^2 - 3r + 2 = 0$，解得 $r_1=1, r_2=2$，故齐次通解 $y_h = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$。
公式：特征方程 $r^2 - 3r + 2 = 0$，根 $r=1,2$
提示：特征根为单根，通解形式为 $C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$。
步骤 5/7
目标：设非齐次特解形式并代入
非齐次项 $-e^x$，由于 $e^x$ 是特征根（$r=1$），故设特解 $y_p^* = A x e^x$。求导：$y_p^{*\prime} = A e^x + A x e^x = A(1+x)e^x$，$y_p^{*\prime\prime} = A e^x + A(1+x)e^x = A(2+x)e^x$。代入方程：$A(2+x)e^x - 3A(1+x)e^x + 2A x e^x = -e^x$。
公式：特解形式：若 $\lambda$ 是 $k$ 重特征根，则特解设为 $x^k Q_m(x) e^{\lambda x}$
提示：注意 $e^x$ 对应特征根1，需乘以 $x$ 修正。
步骤 6/7
目标：求解特解中的系数
化简左边：$A[(2+x) - 3(1+x) + 2x]e^x = A[2+x -3 -3x + 2x]e^x = A(-1)e^x = -A e^x$。令其等于 $-e^x$，得 $-A = -1$，即 $A=1$。故特解 $y_p^* = x e^x$。
提示：化简时注意合并同类项，系数计算要准确。
步骤 7/7
目标：写出原方程通解
原方程通解为 $y = y_h + y_p^* = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + x e^x$。已知特解 $y = e^{2x} + (1+x)e^x = e^{2x} + e^x + x e^x$，对应 $C_1=1, C_2=1$ 的特解。
提示：通解中常数 $C_1, C_2$ 为任意常数。
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