山东大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
9．设 $A(\lambda)$ 是 $n$ 阶 $\lambda$ —矩阵，证明：$A(\lambda)^{T}$ 与 $A(\lambda)$ 等价．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确等价定义
要证明 $A(\lambda)^T$ 与 $A(\lambda)$ 等价，即存在可逆 $\lambda$—矩阵 $P(\lambda)$ 和 $Q(\lambda)$，使得 $A(\lambda)^T = P(\lambda) A(\lambda) Q(\lambda)$。
提示：注意等价定义中要求 $P(\lambda)$ 和 $Q(\lambda)$ 可逆，且是 $\lambda$—矩阵。
步骤 2/6
目标：利用Smith标准形
由于 $A(\lambda)$ 是 $n$ 阶 $\lambda$—矩阵，存在可逆 $\lambda$—矩阵 $U(\lambda)$ 和 $V(\lambda)$，使得 $U(\lambda) A(\lambda) V(\lambda) = \begin{pmatrix} d_1(\lambda) & & \\ & \ddots & \\ & & d_r(\lambda) \\ & & & 0 \end{pmatrix}$，其中 $d_i(\lambda)$ 是首一多项式，且 $d_i(\lambda) \mid d_{i+1}(\lambda)$，$r$ 是 $A(\lambda)$ 的秩。
公式：U(\lambda) A(\lambda) V(\lambda) = \begin{pmatrix} d_1(\lambda) & & \\ & \ddots & \\ & & d_r(\lambda) \\ & & & 0 \end{pmatrix}
提示：Smith标准形存在且唯一，注意对角线上多项式是首一且整除关系。
步骤 3/6
目标：对等式取转置
对上述等式两边取转置，得 $V(\lambda)^T A(\lambda)^T U(\lambda)^T = \begin{pmatrix} d_1(\lambda) & & \\ & \ddots & \\ & & d_r(\lambda) \\ & & & 0 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} d_1(\lambda) & & \\ & \ddots & \\ & & d_r(\lambda) \\ & & & 0 \end{pmatrix}$，因为对角矩阵的转置等于自身。
公式：V(\lambda)^T A(\lambda)^T U(\lambda)^T = \begin{pmatrix} d_1(\lambda) & & \\ & \ddots & \\ & & d_r(\lambda) \\ & & & 0 \end{pmatrix}
提示：转置时注意顺序：$(AB)^T = B^T A^T$。
步骤 4/6
目标：解出 $A(\lambda)^T$
由上式可得 $A(\lambda)^T = (V(\lambda)^T)^{-1} \begin{pmatrix} d_1(\lambda) & & \\ & \ddots & \\ & & d_r(\lambda) \\ & & & 0 \end{pmatrix} (U(\lambda)^T)^{-1}$。
公式：A(\lambda)^T = (V(\lambda)^T)^{-1} \begin{pmatrix} d_1(\lambda) & & \\ & \ddots & \\ & & d_r(\lambda) \\ & & & 0 \end{pmatrix} (U(\lambda)^T)^{-1}
提示：注意逆矩阵的顺序：左边乘 $(V(\lambda)^T)^{-1}$，右边乘 $(U(\lambda)^T)^{-1}$。
步骤 5/6
目标：定义可逆矩阵
令 $P(\lambda) = (V(\lambda)^T)^{-1}$，$Q(\lambda) = (U(\lambda)^T)^{-1}$，则 $P(\lambda)$ 和 $Q(\lambda)$ 是可逆 $\lambda$—矩阵，且 $A(\lambda)^T = P(\lambda) \begin{pmatrix} d_1(\lambda) & & \\ & \ddots & \\ & & d_r(\lambda) \\ & & & 0 \end{pmatrix} Q(\lambda)$。
提示：可逆 $\lambda$—矩阵的转置仍可逆，且逆矩阵的转置等于转置的逆。
步骤 6/6
目标：利用等价传递性
因为 $A(\lambda)$ 与对角矩阵 $\begin{pmatrix} d_1(\lambda) & & \\ & \ddots & \\ & & d_r(\lambda) \\ & & & 0 \end{pmatrix}$ 等价，而 $A(\lambda)^T$ 也与该对角矩阵等价，所以 $A(\lambda)^T$ 与 $A(\lambda)$ 等价。
提示：等价关系是传递的：若 $A \sim B$ 且 $B \sim C$，则 $A \sim C$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。