山东大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
6．已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$ 满足 $A B+E=A^{2}+B$ ，求矩阵 $B$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简方程
由 $AB + E = A^2 + B$ 移项得 $AB - B = A^2 - E$，即 $(A - E)B = A^2 - E$。
公式：AB - B = (A - E)B
提示：注意移项时符号变化，且矩阵乘法不交换，但提取公因子时需注意顺序：$AB - B = (A - E)B$，而不是 $B(A - E)$。
步骤 2/6
目标：计算 A - E
计算 $A - E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
提示：单位矩阵 $E$ 是3阶单位阵，注意对角线元素为1，其余为0。
步骤 3/6
目标：计算 A^2
计算 $A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1+0\cdot0+1\cdot(-1) & 1\cdot0+0\cdot2+1\cdot0 & 1\cdot1+0\cdot0+1\cdot1 \\ 0\cdot1+2\cdot0+0\cdot(-1) & 0\cdot0+2\cdot2+0\cdot0 & 0\cdot1+2\cdot0+0\cdot1 \\ -1\cdot1+0\cdot0+1\cdot(-1) & -1\cdot0+0\cdot2+1\cdot0 & -1\cdot1+0\cdot0+1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
公式：矩阵乘法规则：$(AB)_{ij} = \sum_k A_{ik}B_{kj}$
提示：矩阵乘法时注意行乘列，计算要仔细，避免符号错误。
步骤 4/6
目标：计算 A^2 - E
计算 $A^2 - E = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$。
提示：注意减法是对应元素相减。
步骤 5/6
目标：判断可逆性并求逆矩阵
计算 $\det(A-E) = \det\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 1 \neq 0$，故 $A-E$ 可逆。求逆矩阵：设 $(A-E)^{-1} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$，由 $(A-E)(A-E)^{-1}=E$ 得方程组，解得 $(A-E)^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
公式：逆矩阵定义：$A A^{-1} = E$
提示：求逆矩阵可用伴随矩阵法或初等变换法，注意计算准确。
步骤 6/6
目标：求解 B
由 $(A-E)B = A^2-E$ 得 $B = (A-E)^{-1}(A^2-E)$。计算：$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot(-1)+0\cdot0+(-1)\cdot(-2) & 0\cdot0+0\cdot3+(-1)\cdot0 & 0\cdot2+0\cdot0+(-1)\cdot(-1) \\ 0\cdot(-1)+1\cdot0+0\cdot(-2) & 0\cdot0+1\cdot3+0\cdot0 & 0\cdot2+1\cdot0+0\cdot(-1) \\ 1\cdot(-1)+0\cdot0+0\cdot(-2) & 1\cdot0+0\cdot3+0\cdot0 & 1\cdot2+0\cdot0+0\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$。
公式：若 $AX=B$ 且 $A$ 可逆，则 $X=A^{-1}B$
提示：矩阵乘法顺序不能颠倒，必须是左乘逆矩阵。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。