山东大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
7．设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5\end{array}\right)$ ，利用初等变换法求可逆矩阵 $C$ 和对角矩阵 $D$ ，使得 $C^{T} A C=D$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造增广矩阵并初始化
构造 $3\times 6$ 矩阵 $(A\mid I)$，其中左边为 $A$，右边为单位矩阵 $I$，用于记录列变换。初始矩阵为：
$$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\
1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0\\
1 & 3 & 5 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$$
提示：注意右边矩阵初始为单位矩阵，后续列变换只作用于右边矩阵，行变换同时作用于左右两边。
步骤 2/5
目标：第一轮消元：将第一行和第一列的非对角元化为零
进行行变换：将第一行乘以 $-1$ 加到第二行和第三行，即 $r_2 - r_1$，$r_3 - r_1$，得到：
$$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 2 & -1 & 1 & 0\\
0 & 2 & 4 & -1 & 0 & 1
\end{pmatrix}$$
然后进行相同的列变换：将第一列乘以 $-1$ 加到第二列和第三列，即 $c_2 - c_1$，$c_3 - c_1$，同时右边矩阵相应变换（列变换只改变右边矩阵）：
$$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 2 & -1 & 1 & 0\\
0 & 2 & 4 & -1 & 0 & 1
\end{pmatrix}$$
提示：行变换和列变换必须对应相同的位置和倍数，否则会破坏对称性。注意列变换时左边矩阵的列也会改变，但这里我们只关心右边矩阵的记录。
步骤 3/5
目标：第二轮消元：将第二行和第二列的非对角元化为零
进行行变换：将第二行乘以 $-2$ 加到第三行，即 $r_3 - 2r_2$，得到：
$$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 2 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1
\end{pmatrix}$$
然后进行相同的列变换：将第二列乘以 $-2$ 加到第三列，即 $c_3 - 2c_2$，同时右边矩阵相应变换：
$$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1
\end{pmatrix}$$
提示：注意行变换后左边矩阵的第二行第三列元素为2，列变换后变为0。确保行和列变换的倍数一致。
步骤 4/5
目标：提取对角矩阵D和可逆矩阵C
此时左边矩阵已化为对角矩阵 $D = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$。右边矩阵即为列变换的乘积矩阵 $C$（因为初始为单位矩阵，每次列变换右乘初等矩阵，最终右边矩阵就是 $C$）。右边矩阵为：
$$\begin{pmatrix}1 & -1 & 1\\0 & 1 & -2\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$
所以 $C = \begin{pmatrix}1 & -1 & 1\\0 & 1 & -2\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$。
提示：注意右边矩阵的列对应列变换的累积，不要混淆行和列。最终 $C$ 是列变换矩阵，满足 $C^T A C = D$。
步骤 5/5
目标：验证结果
计算 $C^T A C$ 验证是否等于 $D$：
$$C^T = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\-1 & 1 & 0\\1 & -2 & 1\end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\1 & 2 & 3\\1 & 3 & 5\end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix}1 & -1 & 1\\0 & 1 & -2\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$
先计算 $A C = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\1 & 1 & 0\\1 & 2 & 0\end{pmatrix}$，再计算 $C^T (A C) = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} = D$。验证正确。
提示：验证时注意矩阵乘法的顺序，$C^T A C$ 先计算 $A C$ 或 $C^T A$ 均可，但需确保维度匹配。
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