山东大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
3．设向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是数域 $K$ 上线性空间 $V$ 的一组基，$\sigma$ 是 $V$ 的一个线性变换，且
$$
\sigma\left(\alpha_{1}\right)=\alpha_{1}, \alpha\left(\alpha_{2}\right)=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \sigma\left(\alpha_{3}\right)=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}
$$
（1）证明：$\sigma$ 是 $V$ 上的可逆线性变换；
（2）求 $2 \sigma-\sigma^{-1}$ 在基底 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出线性变换在给定基下的矩阵
由条件 $\sigma(\alpha_1)=\alpha_1$, $\sigma(\alpha_2)=\alpha_1+\alpha_2$, $\sigma(\alpha_3)=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$，可知 $\sigma$ 在基 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 下的矩阵 $A$ 的列向量依次为 $\sigma(\alpha_1),\sigma(\alpha_2),\sigma(\alpha_3)$ 在该基下的坐标。因此 $A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$。
公式：$A = (\sigma(\alpha_1), \sigma(\alpha_2), \sigma(\alpha_3))$ 在基下的坐标矩阵
提示：注意矩阵的列对应变换后的向量在基下的坐标，不要混淆行和列。
步骤 2/5
目标：证明线性变换可逆
计算矩阵 $A$ 的行列式：$\det(A)=1\times1\times1=1\neq0$，所以 $A$ 可逆。由于线性变换在基下的矩阵可逆当且仅当线性变换可逆，因此 $\sigma$ 可逆。
公式：$\det(A)\neq0 \Leftrightarrow A$ 可逆 $\Leftrightarrow \sigma$ 可逆
提示：注意：线性变换可逆等价于其在任意基下的矩阵可逆。
步骤 3/5
目标：求逆矩阵
由于 $A$ 是上三角矩阵，且对角线元素均为1，其逆矩阵也是上三角矩阵。通过解方程 $AA^{-1}=I$ 或利用公式，可得 $A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0\\0 & 1 & -1\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$。
公式：$A^{-1}$ 的计算方法：对于上三角矩阵，逆矩阵可通过回代得到。
提示：验证 $AA^{-1}=I$ 确保正确。
步骤 4/5
目标：计算 $2\sigma-\sigma^{-1}$ 在基下的矩阵
线性变换 $2\sigma-\sigma^{-1}$ 在基下的矩阵为 $2A - A^{-1}$。计算：$2A = 2\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 2 & 2\\0 & 2 & 2\\0 & 0 & 2\end{pmatrix}$，减去 $A^{-1}$ 得 $\begin{pmatrix}2-1 & 2-(-1) & 2-0\\0-0 & 2-1 & 2-(-1)\\0-0 & 0-0 & 2-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 3 & 2\\0 & 1 & 3\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$。
公式：$(2\sigma-\sigma^{-1})$ 的矩阵 $= 2A - A^{-1}$
提示：注意矩阵减法的运算顺序，以及 $A^{-1}$ 中负号的处理。
步骤 5/5
目标：整理最终结果
因此，$2\sigma-\sigma^{-1}$ 在基 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 下的矩阵为 $\begin{pmatrix}1 & 3 & 2\\0 & 1 & 3\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$。
提示：最终矩阵应写为规范形式。
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