山东大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
4．解方程 $y=(x+1) y^{\prime}+\left(y^{\prime}\right)^{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：识别方程类型并引入参数
方程 $y = (x+1)y' + (y')^2$ 是关于 $y$ 和 $y'$ 的隐式微分方程。令 $p = y'$，则原方程化为 $y = (x+1)p + p^2$。
提示：注意隐式方程通常需要引入参数 $p$ 来简化。
步骤 2/7
目标：对等式两边关于 $x$ 求导
对 $y = (x+1)p + p^2$ 两边关于 $x$ 求导，注意 $y$ 和 $p$ 都是 $x$ 的函数：$y' = p$，左边导数为 $p$，右边导数为 $p + (x+1)p' + 2p p'$。因此得到 $p = p + (x+1)p' + 2p p'$。
公式：导数法则：$(uv)' = u'v + uv'$，$(p^2)' = 2p p'$
提示：求导时不要忘记 $p$ 是 $x$ 的函数，需使用链式法则。
步骤 3/7
目标：化简导数方程
将 $p = p + (x+1)p' + 2p p'$ 两边减去 $p$ 得 $0 = (x+1)p' + 2p p'$，即 $0 = (x+1 + 2p)p'$。
提示：化简时注意合并同类项。
步骤 4/7
目标：分情况讨论
由 $0 = (x+1 + 2p)p'$ 得 $p' = 0$ 或 $x+1+2p=0$。
提示：注意不要遗漏 $p'=0$ 的情况。
步骤 5/7
目标：情况1：$p'=0$ 得到通解
若 $p'=0$，则 $p = C$（常数）。代入原方程 $y = (x+1)p + p^2$ 得 $y = (x+1)C + C^2$。此为通解。
提示：常数 $C$ 为任意常数。
步骤 6/7
目标：情况2：$x+1+2p=0$ 得到奇解
若 $x+1+2p=0$，则 $p = -\frac{x+1}{2}$。代入原方程 $y = (x+1)p + p^2$ 得 $y = (x+1)\left(-\frac{x+1}{2}\right) + \left(-\frac{x+1}{2}\right)^2 = -\frac{(x+1)^2}{2} + \frac{(x+1)^2}{4} = -\frac{(x+1)^2}{4}$。此为奇解。
提示：奇解不包含在通解中，需单独列出。
步骤 7/7
目标：总结方程的解
因此，方程的解为通解 $y = C(x+1) + C^2$ 和奇解 $y = -\frac{(x+1)^2}{4}$。
提示：注意奇解是微分方程的包络线。
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