山东大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
4．设 $A \in M_{n}(K), \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是 $A$ 的特征多项式 $f(\lambda)$ 在复数域上的所有根，证明：
$$
\operatorname{tr}(A)=\lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n},|A|=\lambda_{1} \lambda_{2} \cdots \lambda_{n}
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出特征多项式的两种形式
设 $A$ 的特征多项式为 $f(\lambda) = |\lambda I - A|$。根据行列式的展开，$f(\lambda)$ 可写为 $f(\lambda) = \lambda^n - (\operatorname{tr} A) \lambda^{n-1} + \cdots + (-1)^n |A|$。另一方面，由于 $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ 是 $f(\lambda)$ 在复数域上的所有根，故 $f(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_2)\cdots(\lambda - \lambda_n)$。
公式：f(\lambda) = |\lambda I - A| = \lambda^n - (\operatorname{tr} A) \lambda^{n-1} + \cdots + (-1)^n |A|
提示：注意特征多项式通常定义为 $|\lambda I - A|$，而不是 $|A - \lambda I|$，后者会导致符号差异。
步骤 2/5
目标：展开根的形式
将 $f(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_2)\cdots(\lambda - \lambda_n)$ 展开。根据韦达定理，展开后 $\lambda^{n-1}$ 的系数为 $-\sum_{i=1}^n \lambda_i$，常数项为 $(-1)^n \prod_{i=1}^n \lambda_i$。具体地，$f(\lambda) = \lambda^n - (\sum_{i=1}^n \lambda_i) \lambda^{n-1} + \cdots + (-1)^n \prod_{i=1}^n \lambda_i$。
公式：(\lambda - \lambda_1)\cdots(\lambda - \lambda_n) = \lambda^n - (\sum \lambda_i) \lambda^{n-1} + \cdots + (-1)^n \prod \lambda_i
提示：注意符号：$\lambda^{n-1}$ 的系数是负的根之和，常数项是 $(-1)^n$ 乘以根之积。
步骤 3/5
目标：比较系数
比较 $f(\lambda)$ 的两种展开式中 $\lambda^{n-1}$ 的系数：从第一种形式得 $-\operatorname{tr}(A)$，从第二种形式得 $-\sum_{i=1}^n \lambda_i$。因此 $-\operatorname{tr}(A) = -\sum_{i=1}^n \lambda_i$，即 $\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n \lambda_i$。
提示：确保比较的是相同次数的系数，不要漏掉负号。
步骤 4/5
目标：比较常数项
比较常数项：第一种形式中常数项为 $(-1)^n |A|$，第二种形式中常数项为 $(-1)^n \prod_{i=1}^n \lambda_i$。因此 $(-1)^n |A| = (-1)^n \prod_{i=1}^n \lambda_i$，即 $|A| = \prod_{i=1}^n \lambda_i$。
提示：常数项是 $\lambda=0$ 时的值，注意符号 $(-1)^n$ 在两边相同，可以约去。
步骤 5/5
目标：总结结论
综上，我们证明了 $\operatorname{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n$ 和 $|A| = \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n$。
公式：\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n \lambda_i, \quad |A| = \prod_{i=1}^n \lambda_i
提示：注意特征根可能重复，但结论仍然成立。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。