山东大学 2023年高等代数第0题

已知 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ 线性无关，且 $\beta_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} \alpha_j$，$i=1,2,\dots,t$。需要证明 $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_t$ 线性无关的充要条件是 $\det(A_{t \times t}) \neq 0$，其中 $A_{t \times t} = (a_{ij})_{i,j=1}^t$。

令 $\beta = (\beta_1, \dots, \beta_t)^T$，$\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_n)^T$，$A = (a_{ij})_{t \times n}$，则 $\beta = A \alpha$。

假设 $\beta_1, \dots, \beta_t$ 线性无关。考虑线性组合 $\sum_{i=1}^t k_i \beta_i = 0$，代入 $\beta_i$ 表达式得 $\sum_{i=1}^t k_i \sum_{j=1}^n a_{ij} \alpha_j = \sum_{j=1}^n (\sum_{i=1}^t k_i a_{ij}) \alpha_j = 0$。由于 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 线性无关，系数全为零：$\sum_{i=1}^t k_i a_{ij} = 0$，$j=1,\dots,n$。写成矩阵形式：$k^T A = 0$，其中 $k = (k_1, \dots, k_t)^T$。由于 $\beta$ 线性无关，该齐次线性方程组只有零解 $k=0$，因此 $A$ 的行向量线性无关，$\text{rank}(A) = t$。于是 $A$ 存在 $t$ 个线性无关的列，即存在 $t \times t$ 子式非零。特别地，取前 $t$ 列（若 $n \geq t$，否则可重排），得 $\det(A_{t \times t}) \neq 0$。

假设 $\det(A_{t \times t}) \neq 0$，其中 $A_{t \times t}$ 是 $A$ 的前 $t$ 列构成的子矩阵（或适当排列列）。则 $A$ 的行向量线性无关（因为前 $t$ 列满秩保证了行秩为 $t$）。设 $\sum_{i=1}^t k_i \beta_i = 0$，同必要性推导得 $\sum_{i=1}^t k_i a_{ij} = 0$ 对 $j=1,\dots,n$ 成立。特别地，对 $j=1,\dots,t$ 有 $\sum_{i=1}^t k_i a_{ij} = 0$，即 $k^T A_{t \times t} = 0$。由于 $\det(A_{t \times t}) \neq 0$，该齐次线性方程组只有零解 $k=0$，因此 $\beta_1, \dots, \beta_t$ 线性无关。

综上，$\beta_1, \dots, \beta_t$ 线性无关当且仅当存在一个 $t \times t$ 子式非零，即 $\det(a_{ij})_{i,j=1}^t \neq 0$（适当排列指标）。