📝 山东大学 2023年高等代数真题

1．设 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{t}$ 是一组线性无关的向量，$\beta_{i}=\sum_{j=1}^{n} a_{i j} \alpha_{j}(i=1,2, \cdots, t)$ ，证明：$\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t}$ 线性无关的充要条件是 $\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 t} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 t} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{t 1} & a_{t 2} & \cdots & a_{t t}\end{array}\right| \neq 0$ ．

2．设 $A$ 是数域 $K$ 上 $m \times n$ 矩阵，$V$ 是 $K$ 上满足 $A X=O(X$ 是 $n \times s$ 未知矩阵，$O$ 是 $m \times s$ 零矩阵）的全体 $n \times s$ 矩阵组成的集合。问：对矩阵普通加法以及数与矩阵乘法，$V$ 是否构成线性空间？若 $V$ 构成线性空间，求其维数并给出一组基．

3．设 $\alpha_{1}=(1,1,1)^{T}, \alpha_{2}=(1,1,2)^{T}, \alpha_{3}=(1,2,3)^{T}$ ，试证：$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 为线性空间 $\mathbb{R}^{3}$ 的一组基，并用两种方法求向量 $\alpha=(6,9,14)^{T}$ 在该组基下的坐标．

4．设 $V$ 是数域 $K$ 上的线性空间，$\sigma$ 是 $V$ 的一个线性变换，$f(x), g(x) \in P[x], h(x)=f(x) g(x)$ ．证明：
（1） $\operatorname{Ker} f(\sigma)+\operatorname{Ker} g(\sigma) \subseteq \operatorname{Ker} h(\sigma)$ ；
（2）若 $(f(x), g(x))=1$ ，则 $\operatorname{Ker} h(\sigma)=\operatorname{Ker} f(\sigma) \oplus \operatorname{Ker} g(\sigma)$ ．

5．求下列方程组的一个基础解系．

$$
\left\{\begin{array}{l}
3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+3 x_{4}+5 x_{5}=0 \\
6 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+5 x_{4}+7 x_{5}=0 \\
9 x_{1}+6 x_{2}+5 x_{3}+7 x_{4}+9 x_{5}=0 \\
3 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{4}+8 x_{5}=0
\end{array}\right.
$$

6．设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵且 $A+B=A B$ ，求 $A-E$ 的逆矩阵，并证明 $A B=B A$ ．

7．求 $n$ 阶方阵 $A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ a & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ a^{2} & a & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a^{n-1} & a^{n-2} & a^{n-3} & \cdots & 1\end{array}\right)$ 的逆矩阵。

8．设 $A, B$ 均为 $n$ 阶正定矩阵，证明 $A B$ 正定的充要条件为 $A B=B A$ ．

9．设欧几里得空间 $V=\mathbb{R}^{4}$ 中的三个向量为 $\alpha_{1}=(1,-1,-1,1), \alpha_{2}=(1,0,-1,1), \alpha_{3}=(0,1,-1,1)$ ，子空间 $W=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，求向量 $\beta=(2,1,4,2)$ 在 $W$ 上的正交投影．

1．求解微分方程 $y=\left(y^{\prime}-1\right) e^{y^{\prime}}$ ．

2．求解微分方程 $y^{\prime \prime}-y=x e^{x} \cos x$ ．

3．求 $x^{\prime}=A x$ 的基础解系，其中 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 2 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right)$ ．

4．解方程 $\displaystyle y=\frac{3}{2}\left(y^{\prime}\right)^{2}-2 y^{\prime} x+x^{2}$ ．

5．求区域 $G$ ，使得当 $\left(x_{0}, y_{0}\right) \in G$ 时，初值问题 $\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=2 \sqrt{1+y} ; \\ y\left(x_{0}\right)=y_{0} .\end{array}\right.$ 的解存在且唯一．

二．第 3 题 20 分，其余每题 10 分，共 60 分．