山东大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
5．求区域 $G$ ，使得当 $\left(x_{0}, y_{0}\right) \in G$ 时，初值问题 $\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=2 \sqrt{1+y} ; \\ y\left(x_{0}\right)=y_{0} .\end{array}\right.$ 的解存在且唯一．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析方程和初始条件
给定初值问题：
\[
\begin{cases}
y' = 2\sqrt{1+y}, \\
y(x_0) = y_0.
\end{cases}
\]
其中 $f(x,y)=2\sqrt{1+y}$ 定义域要求 $1+y \geq 0$，即 $y \geq -1$。
提示：注意根号内非负，否则方程无意义。
步骤 2/6
目标：应用Picard存在唯一性定理
Picard定理：若 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内连续且关于 $y$ 满足Lipschitz条件，则解存在唯一。
- 连续性：$f(x,y)=2\sqrt{1+y}$ 在 $y \geq -1$ 时连续。
- Lipschitz条件：计算偏导数 $f_y = \frac{1}{\sqrt{1+y}}$。当 $y > -1$ 时，$f_y$ 连续且有界（局部），故满足局部Lipschitz条件。当 $y = -1$ 时，$f_y$ 无界，Lipschitz条件可能不成立。
公式：f_y = \frac{1}{\sqrt{1+y}}
提示：Lipschitz条件通常通过偏导数有界来验证，但需注意边界点。
步骤 3/6
目标：求解微分方程的通解
分离变量：
\[
\frac{dy}{dx} = 2\sqrt{1+y} \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{2\sqrt{1+y}} = dx.
\]
积分：
\[
\int \frac{dy}{2\sqrt{1+y}} = \int dx \quad \Rightarrow \quad \sqrt{1+y} = x + C,
\]
其中 $C$ 为常数。注意 $x+C \geq 0$。于是通解为：
\[
y = (x+C)^2 - 1, \quad x \geq -C.
\]
公式：\sqrt{1+y} = x + C
提示：积分后开方需注意非负性，因此解只在 $x \geq -C$ 时有效。
步骤 4/6
目标：考虑初值 $y_0 = -1$ 时的解
当 $y_0 = -1$ 时，代入通解：$-1 = (x_0+C)^2 - 1$，得 $(x_0+C)^2=0$，即 $C = -x_0$。于是得到一个解：
\[
y = (x - x_0)^2 - 1, \quad x \geq x_0.
\]
此外，常数函数 $y \equiv -1$ 也满足方程和初值（因为 $y'=0$，右边 $2\sqrt{1+(-1)}=0$）。这两个解在 $x > x_0$ 时不同，因此解不唯一。
提示：常数解 $y \equiv -1$ 容易被忽略，需单独验证。
步骤 5/6
目标：确定使解存在唯一的区域 $G$
由上述分析，当 $y_0 = -1$ 时解不唯一。当 $y_0 > -1$ 时，$f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 附近连续且 $f_y$ 有界，满足Picard定理条件，解存在唯一。另外，方程定义要求 $y \geq -1$，故区域 $G$ 为 $y > -1$ 的整个平面，即：
\[
G = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y > -1\}.
\]
提示：注意边界 $y=-1$ 上的点不包含在 $G$ 中。
步骤 6/6
目标：总结最终答案
因此，初值问题解存在唯一的区域为 $y > -1$。
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