山东大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
5．求下列方程组的一个基础解系．
$$
\left\{\begin{array}{l}
3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+3 x_{4}+5 x_{5}=0 \\
6 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+5 x_{4}+7 x_{5}=0 \\
9 x_{1}+6 x_{2}+5 x_{3}+7 x_{4}+9 x_{5}=0 \\
3 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{4}+8 x_{5}=0
\end{array}\right.
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：写出系数矩阵
方程组对应的系数矩阵为：
$$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 & 3 & 5 \\ 6 & 4 & 3 & 5 & 7 \\ 9 & 6 & 5 & 7 & 9 \\ 3 & 2 & 0 & 4 & 8 \end{pmatrix}$$
提示：注意系数矩阵的行数与方程个数相同，列数与未知数个数相同。
步骤 2/8
目标：初等行变换化为行阶梯形
对矩阵进行初等行变换：
1. 第1行乘以-2加到第2行，乘以-3加到第3行，乘以-1加到第4行，得：
$$\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & -6 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$
2. 第2行乘以-2加到第3行，乘以1加到第4行，得：
$$\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
提示：行变换要逐步进行，避免计算错误。注意第三行和第四行化为零行。
步骤 3/8
目标：化为行最简形
继续行变换：
1. 第2行乘以-1加到第1行：
$$\begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 & 4 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
2. 第1行除以3：
$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{4}{3} & \frac{8}{3} \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
提示：行最简形要求主元为1，且主元所在列的其他元素为0。
步骤 4/8
目标：写出等价方程组
行最简形对应的方程组为：
$$\begin{cases} x_1 + \frac{2}{3}x_2 + \frac{4}{3}x_4 + \frac{8}{3}x_5 = 0 \\ x_3 - x_4 - 3x_5 = 0 \end{cases}$$
提示：注意自由变量是$x_2, x_4, x_5$，因为主元对应的变量是$x_1$和$x_3$。
步骤 5/8
目标：确定自由变量并赋值
自由变量为$x_2, x_4, x_5$。分别取$(x_2, x_4, x_5) = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$，代入方程组求解。
提示：自由变量的取值应线性无关，通常取单位向量。
步骤 6/8
目标：求解基础解系向量
1. 当$(x_2, x_4, x_5) = (1,0,0)$时，由方程组得$x_1 = -\frac{2}{3}, x_3 = 0$，解向量为$\xi_1 = \left(-\frac{2}{3}, 1, 0, 0, 0\right)^T$。
2. 当$(x_2, x_4, x_5) = (0,1,0)$时，得$x_1 = -\frac{4}{3}, x_3 = 1$，解向量为$\xi_2 = \left(-\frac{4}{3}, 0, 1, 1, 0\right)^T$。
3. 当$(x_2, x_4, x_5) = (0,0,1)$时，得$x_1 = -\frac{8}{3}, x_3 = 3$，解向量为$\xi_3 = \left(-\frac{8}{3}, 0, 3, 0, 1\right)^T$。
提示：代入时注意方程组中$x_1$和$x_3$的表达式。
步骤 7/8
目标：化为整数解（可选）
为方便，将每个解向量乘以3（分母的最小公倍数），得到整数解：
$$\xi_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \xi_2 = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \xi_3 = \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 9 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$$
提示：乘以非零常数后仍是解，但注意基础解系要求向量线性无关。
步骤 8/8
目标：写出基础解系
因此，方程组的一个基础解系为：
$$\left\{ \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 9 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \right\}$$
提示：基础解系中的向量个数等于自由变量的个数，即3个。
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