山东大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
4．解方程 $\displaystyle y=\frac{3}{2}\left(y^{\prime}\right)^{2}-2 y^{\prime} x+x^{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别方程类型
方程 $y = \frac{3}{2}(y')^2 - 2y'x + x^2$ 是克莱罗方程，因为其形式为 $y = xp + f(p)$，其中 $p = y'$。这里 $f(p) = \frac{3}{2}p^2$，但注意方程中还有 $-2xp$ 项，实际上可化为 $y = x^2 - 2xp + \frac{3}{2}p^2$，即 $y = x^2 + p(-2x) + \frac{3}{2}p^2$，不是标准形式，但通过变量替换或直接处理，仍可用克莱罗方法。
提示：注意克莱罗方程的标准形式为 $y = xp + f(p)$，本题中 $x^2$ 项需视为常数项？实际上，将方程视为 $y = x^2 - 2xp + \frac{3}{2}p^2$，可令 $u = x$ 但非标准。更准确地说，这是可化为克莱罗方程的方程。
步骤 2/6
目标：引入参数并求导
令 $p = y'$，则原方程化为 $y = \frac{3}{2}p^2 - 2px + x^2$。两边对 $x$ 求导，注意 $y' = p$，且 $p$ 是 $x$ 的函数，得 $p = 3p p' - 2p - 2x p' + 2x$。
公式：$\frac{d}{dx} y = \frac{d}{dx} \left( \frac{3}{2}p^2 - 2px + x^2 \right)$
提示：求导时注意 $p$ 是 $x$ 的函数，使用链式法则，$\frac{d}{dx}(p^2) = 2p p'$，$\frac{d}{dx}(-2px) = -2p - 2x p'$。
步骤 3/6
目标：整理导数方程
将求导结果移项整理：$p - 3p p' + 2p + 2x p' - 2x = 0$，即 $3p - 2x + (2x - 3p)p' = 0$，或写成 $(3p - 2x)(1 - p') = 0$，即 $(3p - 2x)(p' - 1) = 0$。
公式：$(3p - 2x)(p' - 1) = 0$
提示：注意符号：$p = 3p p' - 2p - 2x p' + 2x$ 移项得 $p - 3p p' + 2p + 2x p' - 2x = 0$，合并同类项得 $3p - 2x + (2x - 3p)p' = 0$，提取公因式 $(3p - 2x)$ 得 $(3p - 2x)(1 - p') = 0$。
步骤 4/6
目标：求解第一种情况：通解
若 $p' - 1 = 0$，则 $p' = 1$，积分得 $p = x + C$，其中 $C$ 为任意常数。代入原方程 $y = \frac{3}{2}p^2 - 2px + x^2$，得 $y = \frac{3}{2}(x+C)^2 - 2(x+C)x + x^2$。展开并化简：$y = \frac{3}{2}(x^2 + 2Cx + C^2) - 2x^2 - 2Cx + x^2 = \frac{3}{2}x^2 + 3Cx + \frac{3}{2}C^2 - 2x^2 - 2Cx + x^2 = \left(\frac{3}{2} - 2 + 1\right)x^2 + (3C - 2C)x + \frac{3}{2}C^2 = \frac{1}{2}x^2 + Cx + \frac{3}{2}C^2$。注意：这里 $Cx$ 项应为 $-Cx$？重新计算：$-2(x+C)x = -2x^2 - 2Cx$，加上 $x^2$ 得 $-x^2 - 2Cx$，再加上 $\frac{3}{2}(x^2+2Cx+C^2) = \frac{3}{2}x^2 + 3Cx + \frac{3}{2}C^2$，总和为 $(\frac{3}{2} - 1)x^2 + (3C - 2C)x + \frac{3}{2}C^2 = \frac{1}{2}x^2 + Cx + \frac{3}{2}C^2$。但答案中为 $-Cx$，检查符号：原方程中 $-2px$，$p=x+C$，则 $-2(x+C)x = -2x^2 - 2Cx$，正确。但答案中写的是 $-Cx$，可能我漏了负号？再仔细：答案中通解为 $y = \frac{1}{2}x^2 - Cx + \frac{3}{2}C^2$，而我得到 $+Cx$，说明符号有误。实际上，$-2(x+C)x = -2x^2 - 2Cx$，加上 $x^2$ 得 $-x^2 - 2Cx$，加上 $\frac{3}{2}(x^2+2Cx+C^2) = \frac{3}{2}x^2 + 3Cx + \frac{3}{2}C^2$，总和为 $(\frac{3}{2} - 1)x^2 + (3C - 2C)x + \frac{3}{2}C^2 = \frac{1}{2}x^2 + Cx + \frac{3}{2}C^2$。但答案中 $Cx$ 前是负号，说明我可能将 $p$ 代入时符号弄反？检查原方程：$y = \frac{3}{2}p^2 - 2px + x^2$，代入 $p=x+C$ 得 $y = \frac{3}{2}(x+C)^2 - 2(x+C)x + x^2$，正确。但答案中 $-2(x+C)x$ 展开为 $-2x^2 - 2Cx$，然后 $+x^2$ 得 $-x^2 - 2Cx$，加上 $\frac{3}{2}(x^2+2Cx+C^2) = \frac{3}{2}x^2 + 3Cx + \frac{3}{2}C^2$，合并 $x^2$ 系数：$\frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$，$x$ 系数：$3C - 2C = C$，常数：$\frac{3}{2}C^2$。所以应为 $y = \frac{1}{2}x^2 + Cx + \frac{3}{2}C^2$。但答案中为 $-Cx$，可能答案中的 $C$ 是任意常数，符号可包含在其中？实际上，若将 $C$ 替换为 $-C$，则 $y = \frac{1}{2}x^2 - Cx + \frac{3}{2}C^2$，所以两种形式等价，因为 $C$ 是任意常数。因此通解可写为 $y = \frac{1}{2}x^2 - Cx + \frac{3}{2}C^2$。
公式：$p = x + C$，$y = \frac{1}{2}x^2 - Cx + \frac{3}{2}C^2$
提示：注意常数 $C$ 的符号可任意，因此通解形式不唯一。化简时小心代数运算。
步骤 5/6
目标：求解第二种情况：奇解
若 $3p - 2x = 0$，则 $p = \frac{2}{3}x$。代入原方程 $y = \frac{3}{2}p^2 - 2px + x^2$，得 $y = \frac{3}{2}\left(\frac{2}{3}x\right)^2 - 2\cdot\frac{2}{3}x\cdot x + x^2 = \frac{3}{2}\cdot\frac{4}{9}x^2 - \frac{4}{3}x^2 + x^2 = \frac{2}{3}x^2 - \frac{4}{3}x^2 + x^2 = \left(\frac{2}{3} - \frac{4}{3} + 1\right)x^2 = \frac{1}{3}x^2$。此解不包含任意常数，为奇解。
公式：$p = \frac{2}{3}x$，$y = \frac{1}{3}x^2$
提示：奇解是满足 $3p-2x=0$ 的解，需验证是否满足原方程。
步骤 6/6
目标：总结解的形式
原方程的通解为 $y = \frac{1}{2}x^2 - Cx + \frac{3}{2}C^2$，其中 $C$ 为任意常数；奇解为 $y = \frac{1}{3}x^2$。注意奇解是通解的包络。
提示：克莱罗方程的通解是一族直线（或抛物线），奇解是它们的包络线。
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