山东大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
1．求解微分方程 $y=\left(y^{\prime}-1\right) e^{y^{\prime}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入参数并改写方程
令 $p = y'$，则原方程 $y = (y' - 1) e^{y'}$ 化为 $y = (p - 1) e^{p}$。
提示：注意 $p$ 是 $x$ 的函数，后续求导时需考虑链式法则。
步骤 2/6
目标：对 $x$ 求导
两边对 $x$ 求导，左边导数为 $y' = p$，右边导数为 $\frac{d}{dx}[(p-1)e^p] = [e^p + (p-1)e^p] p' = p e^p p'$。因此得到 $p = p e^p p'$。
公式：$\frac{d}{dx}[(p-1)e^p] = p e^p p'$
提示：求导时注意 $p$ 是 $x$ 的函数，需使用乘积法则和链式法则。
步骤 3/6
目标：化简方程
若 $p \neq 0$，两边除以 $p$ 得 $1 = e^p p'$，即 $\frac{dp}{dx} = e^{-p}$。
提示：注意 $p=0$ 的情况需要单独讨论，不可直接除以 $p$。
步骤 4/6
目标：分离变量并积分
分离变量得 $e^p dp = dx$，积分得 $\int e^p dp = \int dx$，即 $e^p = x + C$，其中 $C$ 为任意常数。
公式：$\int e^p dp = e^p$
提示：积分常数 $C$ 不要遗漏。
步骤 5/6
目标：回代得到通解
由 $e^p = x + C$ 得 $p = \ln(x + C)$，代入 $y = (p-1)e^p$ 得 $y = (\ln(x+C) - 1)(x+C)$。
提示：注意 $\ln$ 的定义域要求 $x+C > 0$。
步骤 6/6
目标：讨论特殊情况 $p=0$
当 $p=0$ 时，代入原方程得 $y = (0-1)e^0 = -1$。验证 $y' = 0$，满足方程，故 $y = -1$ 也是解。
提示：此解是常数解，不能由通解得到，需单独列出。
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