山东大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
6．设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵且 $A+B=A B$ ，求 $A-E$ 的逆矩阵，并证明 $A B=B A$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：变形已知等式
由 $A+B=AB$ 移项得 $AB - A - B = 0$。
提示：注意移项时符号变化，不要漏项。
步骤 2/7
目标：配凑因式分解
两边加单位矩阵 $E$：$AB - A - B + E = E$。
提示：加 $E$ 是为了构造 $(A-E)(B-E)$ 的形式。
步骤 3/7
目标：因式分解
左边分解为 $(A-E)(B-E) = E$。
公式：$(A-E)(B-E) = AB - A - B + E$
提示：注意矩阵乘法不交换，但这里分解是成立的，因为 $(A-E)(B-E) = AB - A - B + E$。
步骤 4/7
目标：得出逆矩阵
由 $(A-E)(B-E)=E$ 知 $A-E$ 可逆，且 $(A-E)^{-1}=B-E$。
公式：若 $XY=E$，则 $X$ 可逆且 $X^{-1}=Y$
提示：注意逆矩阵的唯一性，这里 $B-E$ 就是逆矩阵。
步骤 5/7
目标：交换乘积顺序
由 $(A-E)(B-E)=E$ 知 $(B-E)(A-E)=E$，因为逆矩阵与矩阵可交换。
公式：若 $X$ 可逆，则 $X X^{-1} = X^{-1} X = E$
提示：注意这里利用了逆矩阵的性质，但需要先证明 $A-E$ 可逆。
步骤 6/7
目标：展开交换后的等式
展开 $(B-E)(A-E)=E$ 得 $BA - B - A + E = E$，即 $BA = A+B$。
公式：$(B-E)(A-E) = BA - B - A + E$
提示：展开时注意矩阵乘法的顺序，$BA$ 与 $AB$ 不同。
步骤 7/7
目标：证明交换性
已知 $AB = A+B$，又 $BA = A+B$，故 $AB=BA$。
提示：注意这里 $A+B$ 是交换的，所以 $AB$ 和 $BA$ 都等于同一个矩阵，从而相等。
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