山东大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
7．求 $n$ 阶方阵 $A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ a & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ a^{2} & a & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a^{n-1} & a^{n-2} & a^{n-3} & \cdots & 1\end{array}\right)$ 的逆矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析矩阵结构，确定逆矩阵形式
矩阵 $A$ 是下三角矩阵，主对角线元素均为1，因此可逆。由于下三角矩阵的逆仍是下三角矩阵，且主对角线元素为1，可设 $A^{-1} = (b_{ij})$ 为下三角矩阵，即当 $i
提示：注意下三角矩阵的逆仍为下三角矩阵，且主对角线元素为原矩阵主对角线元素的倒数，这里原对角线元素为1，故逆矩阵对角线元素也为1。
步骤 2/7
目标：利用矩阵乘法建立方程
计算 $AA^{-1}$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素（$i \ge j$）：
$$(AA^{-1})_{ij} = \sum_{k=j}^{i} a_{ik} b_{kj} = \sum_{k=j}^{i} a^{i-k} b_{kj} = \delta_{ij}.$$
其中 $a_{ik} = a^{i-k}$ 当 $i \ge k$，否则为0。
公式：$$(AA^{-1})_{ij} = \sum_{k=j}^{i} a^{i-k} b_{kj} = \delta_{ij}.$$
提示：注意求和下标从 $j$ 到 $i$，因为 $A$ 和 $A^{-1}$ 都是下三角矩阵，当 $ki$ 时项为零。
步骤 3/7
目标：处理对角线元素
当 $i=j$ 时，方程变为：
$$\sum_{k=j}^{i} a^{i-k} b_{kj} = a^{0} b_{ii} = 1,$$
因此 $b_{ii}=1$，与假设一致。
提示：对角线元素直接得出，无需额外计算。
步骤 4/7
目标：推导非对角线元素的递推关系
当 $i>j$ 时，方程为：
$$\sum_{k=j}^{i} a^{i-k} b_{kj} = 0.$$
将 $k=i$ 项分离：$b_{ij} + \sum_{k=j}^{i-1} a^{i-k} b_{kj} = 0$，即
$$b_{ij} = -\sum_{k=j}^{i-1} a^{i-k} b_{kj}.$$
公式：$$b_{ij} = -\sum_{k=j}^{i-1} a^{i-k} b_{kj}.$$
提示：注意 $b_{jj}=1$，递推时从 $i=j+1$ 开始。
步骤 5/7
目标：计算次对角线元素
令 $i=j+1$，则
$$b_{j+1,j} = -a b_{jj} = -a.$$
因此次对角线元素均为 $-a$。
提示：注意 $b_{jj}=1$，直接代入。
步骤 6/7
目标：计算其他非对角线元素并发现规律
令 $i=j+2$，则
$$b_{j+2,j} = -a b_{j+1,j} - a^2 b_{jj} = -a(-a) - a^2 = a^2 - a^2 = 0.$$
令 $i=j+3$，则
$$b_{j+3,j} = -a b_{j+2,j} - a^2 b_{j+1,j} - a^3 b_{jj} = -a(0) - a^2(-a) - a^3 = a^3 - a^3 = 0.$$
依此类推，当 $i \ge j+2$ 时，$b_{ij}=0$。
提示：通过递推发现，除了主对角线和次对角线外，其余元素均为0。
步骤 7/7
目标：写出逆矩阵并验证
因此 $A^{-1}$ 是双对角矩阵：主对角线为1，次对角线为 $-a$，其余为0。即
$$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ -a & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & -a & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & -a & 1 \end{pmatrix}.$$
验证：计算 $AA^{-1}$，乘积为单位矩阵。
提示：验证时注意矩阵乘法，只有相邻两行有非零乘积。
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