山东大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
4．设 $V$ 是数域 $K$ 上的线性空间，$\sigma$ 是 $V$ 的一个线性变换，$f(x), g(x) \in P[x], h(x)=f(x) g(x)$ ．证明：
（1） $\operatorname{Ker} f(\sigma)+\operatorname{Ker} g(\sigma) \subseteq \operatorname{Ker} h(\sigma)$ ；
（2）若 $(f(x), g(x))=1$ ，则 $\operatorname{Ker} h(\sigma)=\operatorname{Ker} f(\sigma) \oplus \operatorname{Ker} g(\sigma)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明包含关系：Ker f(σ) + Ker g(σ) ⊆ Ker h(σ)
任取 $\alpha \in \operatorname{Ker} f(\sigma) + \operatorname{Ker} g(\sigma)$，则存在 $\alpha_1 \in \operatorname{Ker} f(\sigma)$，$\alpha_2 \in \operatorname{Ker} g(\sigma)$ 使得 $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2$。计算 $h(\sigma)\alpha = f(\sigma)g(\sigma)(\alpha_1+\alpha_2) = f(\sigma)g(\sigma)\alpha_1 + f(\sigma)g(\sigma)\alpha_2$。由于 $f(\sigma)\alpha_1=0$，故 $f(\sigma)g(\sigma)\alpha_1 = g(\sigma)(f(\sigma)\alpha_1)=0$；同理 $g(\sigma)\alpha_2=0$ 得 $f(\sigma)g(\sigma)\alpha_2=0$。因此 $h(\sigma)\alpha=0$，即 $\alpha \in \operatorname{Ker} h(\sigma)$。
公式：h(σ) = f(σ)g(σ)
提示：注意线性变换的乘法顺序：f(σ)g(σ)表示先作用g(σ)再作用f(σ)，但这里因为多项式可交换，顺序不影响结果。
步骤 2/5
目标：利用互素条件得到恒等式
由于 $(f(x),g(x))=1$，存在 $u(x),v(x)\in P[x]$ 使得 $u(x)f(x)+v(x)g(x)=1$。将 $x$ 替换为 $\sigma$ 得 $u(\sigma)f(\sigma)+v(\sigma)g(\sigma)=\operatorname{id}$。
公式：u(σ)f(σ) + v(σ)g(σ) = id
提示：注意多项式恒等式代入线性变换后仍然成立，但需注意线性变换的乘法顺序。
步骤 3/5
目标：证明反向包含关系：Ker h(σ) ⊆ Ker f(σ) + Ker g(σ)
任取 $\alpha \in \operatorname{Ker} h(\sigma)$，则 $f(\sigma)g(\sigma)\alpha=0$。令 $\alpha_1 = v(\sigma)g(\sigma)\alpha$，$\alpha_2 = u(\sigma)f(\sigma)\alpha$。由恒等式得 $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2$。计算 $f(\sigma)\alpha_1 = f(\sigma)v(\sigma)g(\sigma)\alpha = v(\sigma)f(\sigma)g(\sigma)\alpha = 0$，故 $\alpha_1 \in \operatorname{Ker} f(\sigma)$。同理 $g(\sigma)\alpha_2 = 0$，故 $\alpha_2 \in \operatorname{Ker} g(\sigma)$。因此 $\alpha \in \operatorname{Ker} f(\sigma) + \operatorname{Ker} g(\sigma)$。
公式：α = v(σ)g(σ)α + u(σ)f(σ)α
提示：注意构造 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 时利用了恒等式，且需验证它们分别属于对应的核。
步骤 4/5
目标：证明交为零空间：Ker f(σ) ∩ Ker g(σ) = {0}
设 $\alpha \in \operatorname{Ker} f(\sigma) \cap \operatorname{Ker} g(\sigma)$，则 $f(\sigma)\alpha=0$，$g(\sigma)\alpha=0$。由恒等式得 $\alpha = u(\sigma)f(\sigma)\alpha + v(\sigma)g(\sigma)\alpha = 0 + 0 = 0$。因此交空间只含零向量。
公式：α = u(σ)f(σ)α + v(σ)g(σ)α
提示：注意这里直接代入恒等式，利用 $f(\sigma)\alpha=0$ 和 $g(\sigma)\alpha=0$ 得到 $\alpha=0$。
步骤 5/5
目标：总结直和结论
由前两步，我们有 $\operatorname{Ker} h(\sigma) = \operatorname{Ker} f(\sigma) + \operatorname{Ker} g(\sigma)$ 且 $\operatorname{Ker} f(\sigma) \cap \operatorname{Ker} g(\sigma) = \{0\}$，因此和为直和，即 $\operatorname{Ker} h(\sigma) = \operatorname{Ker} f(\sigma) \oplus \operatorname{Ker} g(\sigma)$。
提示：直和需要同时满足和等于全空间以及交为零，缺一不可。
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