山东大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
8．设 $A, B$ 均为 $n$ 阶正定矩阵，证明 $A B$ 正定的充要条件为 $A B=B A$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：必要性：由AB正定推出AB对称，进而推出AB=BA
若$AB$正定，则$AB$为实对称矩阵，即$(AB)^T = AB$。又因为$A, B$正定，所以$A^T = A, B^T = B$，于是$(AB)^T = B^T A^T = BA$，故$AB = BA$。
公式：$(AB)^T = B^T A^T$
提示：正定矩阵首先是对称矩阵，这是正定的前提条件。
步骤 2/7
目标：充分性：由AB=BA推出AB对称
若$AB = BA$，则$(AB)^T = B^T A^T = BA = AB$，所以$AB$是实对称矩阵。
公式：$(AB)^T = B^T A^T$
提示：注意对称性的推导需要利用已知的$A$和$B$的对称性。
步骤 3/7
目标：利用A的正定性进行分解
由于$A$正定，存在可逆矩阵$P$使得$A = P^T P$。
公式：$A = P^T P$
提示：正定矩阵的分解不唯一，但存在这样的可逆矩阵$P$。
步骤 4/7
目标：将AB=BA转化为关于P和B的关系
代入$AB = BA$得$P^T P B = B P^T P$，两边左乘$(P^T)^{-1}$，右乘$P^{-1}$得$P B P^{-1} = (P^T)^{-1} B P^T$，即$P B P^{-1}$为对称矩阵。
公式：$P B P^{-1} = (P^T)^{-1} B P^T$
提示：注意矩阵乘法的顺序，左乘和右乘要对应。
步骤 5/7
目标：证明PBP^{-1}的特征值全为正
由于$B$正定，故$P B P^T$正定（合同变换保持正定性），而$P B P^{-1}$与$P B P^T$相似，特征值相同，因此$P B P^{-1}$的特征值全为正。
公式：$P B P^T$与$P B P^{-1}$相似
提示：合同变换不改变正定性，但相似变换保持特征值。
步骤 6/7
目标：证明AB与PBP^{-1}相似，从而特征值全为正
由于$AB = P^T P B = P^T (P B P^T) (P^T)^{-1}$，所以$AB$与$P B P^T$相似，而$P B P^T$与$P B P^{-1}$相似，故$AB$与$P B P^{-1}$相似，特征值全为正。
公式：$AB = P^T (P B P^T) (P^T)^{-1}$
提示：注意相似关系的传递性。
步骤 7/7
目标：结论：AB正定
由于$AB$是实对称矩阵且特征值全为正，故$AB$正定。
提示：正定矩阵的判定：对称且特征值全正。
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