山东大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
二．第 3 题 20 分，其余每题 10 分，共 60 分．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：必要性：假设A可对角化，构造一维不变子空间
设$\mathcal{A}$可对角化，则存在$V$的一组基$\alpha_1,\dots,\alpha_n$，使得$\mathcal{A}\alpha_i = \lambda_i \alpha_i$，其中$\lambda_i \in \mathbb{F}$。令$W_i = \operatorname{span}\{\alpha_i\}$，则$W_i$是$\mathcal{A}$的一维不变子空间，且$V = W_1 \oplus \cdots \oplus W_n$。
公式：$\mathcal{A}\alpha_i = \lambda_i \alpha_i$
提示：注意一维不变子空间由特征向量张成，且不同特征向量线性无关。
步骤 2/3
目标：充分性：假设V分解为一维不变子空间的直和，证明A可对角化
设$V = W_1 \oplus \cdots \oplus W_k$，每个$W_i$是$\mathcal{A}$的一维不变子空间。取每个$W_i$的非零向量$\alpha_i$，则$\mathcal{A}\alpha_i = \lambda_i \alpha_i$。由于$V$是$n$维，且$\alpha_1,\dots,\alpha_k$线性无关，故$k=n$，从而$\alpha_1,\dots,\alpha_n$构成$V$的一组基，$\mathcal{A}$在该基下的矩阵为$\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$，即$\mathcal{A}$可对角化。
公式：$\mathcal{A}\alpha_i = \lambda_i \alpha_i$
提示：注意直和分解中每个子空间维数为1，因此子空间个数等于维数n。
步骤 3/3
目标：总结充要条件
综上，$\mathcal{A}$可对角化的充要条件是$V$可以分解为$\mathcal{A}$的一维不变子空间的直和。
提示：该结论是线性变换对角化的几何刻画。
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